Homomorphiesatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz, der in entsprechender Form sowohl für Gruppen, Vektorräume als auch Ringe gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen Gruppenhomomorphismen und Normalteilern, Vektorraumhomomorphismen und Untervektorräumen sowie Ringhomomorphismen und Idealen her.

Ist $f$ ein entsprechender Homomorphismus von $A$ nach $B$ dann gilt

$A/{\ker(f)} \cong \operatorname{im}(f)$

$\operatorname{im}(f)$ ist das Bild und $\ker(f)$ ist der Kern von $f$ .

[Bearbeiten] Gruppe

Ist $f$ ein Gruppenhomomorphismus von $G$ nach $H$ , dann ist der Kern $\ker(f)$ ein Normalteiler von $G$ und die Faktorgruppe $G/{\ker(f)}$ ist isomorph zum Bild $\operatorname{im}(f)$ .

[Bearbeiten] Vektorraum

Ist $f$ ein Vektorraumhomomorphismus von $V$ nach $W$ , dann ist der Kern $\ker(f)$ ein Untervektorraum von $V$ und der Faktorraum $V/{\ker(f)}$ ist isomorph zum Bild $\operatorname{im}(f)$ .

[Bearbeiten] Ring

Ist $f$ ein Ringhomomorphismus von $R$ nach $S$ , dann ist der Kern $\ker(f)$ ein Ideal von $R$ und der Faktorring $R/{\ker(f)}$ ist isomorph zum Bild $\operatorname{im}(f)$ .

[Bearbeiten] Beispiel

Es stehe $\operatorname{GL}(n,K)$ für die Gruppe der regulären $n\times n$ -Matrizen über einem Körper $K$ . Die Determinante

$\det : \operatorname{GL}(n,K)\to K^*=K\setminus \{0\}$

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus der Speziellen linearen Gruppe $\operatorname{SL}(n,K)$ der $n\times n$ -Matrizen mit Determinante $1$ besteht. Es gilt nach dem Homomorphiesatz

$\operatorname{GL}(n,K)/\operatorname{SL}(n,K)\cong K^*$ .

Hieraus folgt insbesondere, dass im Gegensatz zur linearen Gruppe $\operatorname{GL}(n,K)$ die Faktorgruppe $\operatorname{GL}(n,K)/\operatorname{SL}(n,K)$ abelsch ist.

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Der Satz gilt allgemein in jeder abelschen Kategorie.
Der Satz gilt beispielsweise auch in der Kategorie der topologischen Gruppen; allerdings ist das Bild dann auch im kategoriellen Sinne zu verstehen, es handelt sich also im allgemeinen nicht um das mengentheoretische Bild mit der induzierten Topologie. Auch ist ein bijektiver stetiger Homomorphismus nur dann ein kategorieller Isomorphismus, wenn auch seine Umkehrung stetig ist, d. h. wenn er auch ein Homöomorphismus ist.

Von „http://de.wikipedia.org../../../h/o/m/Homomorphiesatz.html“

Kategorie: Algebra