Inverse Iteration
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die inverse Iteration ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten von Matrizen. Sie ist eine Variante der von-Mises-Iteration, mit deren Hilfe allerdings beliebige Eigenwerte berechnet werden können. Das Verfahren wurde 1944 von Helmut Wielandt bei der Stabilitätsanalyse von Strukturen, die kleine Störungen bekannter Systeme sind, eingeführt. In diesem Fall sind gute Approximationen für die relevanten Eigenwerte bekannt, und man erhält rasche Konvergenz.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Beschreibung
Ist λ ein Eigenwert von A und x der zugehörige Eigenvektor so ist λ − θ ein Eigenwert von (A − θI) zum Eigenvektor x wobei I die Einheitsmatrix ist. Des Weiteren ist dann 
ein Eigenwert von (A − θI) − 1 zum Eigenvektor x. Ist λ nun der Eigenwert von A der θ am nächsten liegt so ist der betragsmäßig größte Eigenwert von (A − θI) − 1. Wendet man nun auf (A − θI) − 1 die Potenzmethode an, so konvergiert xk gegen den Eigenvektor zum Eigenwert λ von A der θ am nächsten liegt.
[Bearbeiten] Algorithmus
Gegeben sei eine quadratische Matrix 
, ein Startvektor 
und ein Shift 
so das (A − θI) regulär ist.
Für k = 1,2,....
- Löse (A − θI)xk = qk
Über den Rayleigh-Quotienten erhält man eine Näherung für den zugehörigen Eigenwert.
[Bearbeiten] Erweiterungen
Wählt man in jedem Schritt über θ = λk einen neuen Shift so erhält man die Rayleigh-Quotienten-Iteration.
[Bearbeiten] Literatur
- Gene H. Golub / Charles F. van Loan Matrix Computations
- J.H. Wilkinson The Algebraic Eigenvalue Problem
