Matrice jacobiana

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, e in particolare nel calcolo vettoriale e nel calcolo infinitesimale di più variabili, il termine jacobiano è utilizzato per denotare sia la matrice jacobiana che il suo determinante, cioè il determinante jacobiano.

Inoltre in geometria algebrica con jacobiano di una curva algebrica si intende la varietà jacobiana: una varietà algebrica con struttura di gruppo associata alla curva.

Questi termini ricordano il matematico tedesco Carl Gustav Jacobi.

[modifica] Matrice jacobiana

La matrice jacobiana è la matrice di tutte le derivate parziali del primo ordine di una funzione che ha dominio e codominio in due spazi vettoriali ed è differenziabile. La sua importanza è legata al fatto che rappresenta la migliore approssimazione lineare della funzione differenziabile vicino ad un punto dato. In questo senso, lo jacobiano è simile alla derivata, ed estende tale nozione alle funzioni multivariate.

Supponiamo che $F: \R^n \to \R^m\!$ sia una funzione dallo spazio euclideo n-dimensionale allo spazio euclideo m-dimensionale. Una tale funzione è data da m funzioni reali componenti di n variabili $y_1\left ( x_1, ..., x_n \right ), ..., y_m \left ( x_1, ..., x_n \right )\!$ . Le derivate parziali di tutte queste funzioni (se esistono) possono essere organizzate in una matrice m × n, la matrice jacobiana di F, come segue:

$\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Questa matrice è denotata con

$J_F(x_1,\ldots,x_n) \qquad \mbox{oppure}\qquad \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$

La i-esima riga di questa matrice è data dal gradiente della funzione y_i per i=1,...,m.

Se p è un punto in $\R^n\!$ ed F è differenziabile in p, allora la sua derivata è data da J_F(p) (e questa è la strada più agevole per calcolare dette derivate). In questo caso, l'applicazione lineare descritta da J_F(p) è la miglior approssimazione lineare di F vicino al punto p, nel senso che

$F(\mathbf{x}) \approx J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p}) + F(\mathbf{p})\!$

per x vicino a p.

[modifica] Esempio

La matrice jacobiana della funzione $\mathbf{F}: \R^3 \to \R^4\!$ , con componenti:

$y_1 = x_1\!$

$y_2 = 5\cdot x_3\!$

$y_3 = 4\cdot x_2^2 - 2\cdot x_3\!$

$y_4 = x_3\cdot \sin(x_1)\!$

è:

$J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}$

[modifica] Determinante jacobiano

Se m = n, allora F è una funzione dallo spazio n-dimensionale nello spazio n-dimensionale e la matrice di Jacobi è una matrice quadrata. Possiamo allora calcolare il suo determinante, noto come il determinante jacobiano.

Il determinante jacobiano in un dato punto dà importanti informazioni circa il comportamento di F vicino a questo punto. Per esempio, la funzione F differenziabile con continuità è invertibile vicino a p se e solo se il determinante jacobiano in p è non nullo. Questo è il teorema della funzione inversa. Per di più, se il determinante jacobiano in p è positivo, allora F preserva l'orientazione vicino a p; se il determinante è negativo, F inverte l'orientazione.

Il valore assoluto del determinante jacobiano in p ci dà il fattore del quale la funzione F espande o riduce i volumi vicino a p; per questo motivo esso compare nella generale regola di sostituzione.

[modifica] Esempio

Il determinante jacobiano della funzione $f: \R^3 \to \R^3\!$ con componenti :

$y_1 = 5\cdot x_2 \!$

$y_2 = 4\cdot x_1^2 - 2 \cdot \sin(x_2 \cdot x_3)\!$

$y_3 = x_2 \cdot x_3\!$

$\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2$

Da questo vediamo che F inverte l'orientazione vicino a quei punti dove x₁ e x₂ hanno lo stesso segno; la funzione è localmente invertibile ovunque eccetto i punti caratterizzati da x₁=0 e da x₂=0. Se inizi con un piccolo volume in un intorno del punto (1,1,1) e applichi F a tale volume, ottieni un volume 40 volte superiore all'originale.