Jacobson-Radikal

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In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings R ein Ideal von R, das Elemente von R enthält, die man als "nahe an Null" betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson, der sich als erster mit dem Begriff auseinandergesetzt hat, benannt.

Inhaltsverzeichnis

1 Jacobson-Radikal von R-Moduln
- 1.1 Eigenschaften
2 Jacobson-Radikal von Ringen
- 2.1 Eigenschaften
- 2.2 Beispiele

[Bearbeiten] Jacobson-Radikal von R-Moduln

Im folgenden sei R ein Ring mit 1 und M ein R-Linksmodul.

Der Durchschnitt aller maximalen R-Untermoduln von M wird als Jacobson-Radikal $R a d R (M)$ (oder kurz Rad(M)) bezeichnet. Hat M keine maximalen Untermoduln, so setzt man Rad(M)=M.

Ist M endlich erzeugt, so gilt: $Rad(M) = \{x \in M | x \ \mathrm{ ist \ \ddot uberfl \ddot ussig \ in} \ M \}$ . Dabei heißt ein Element x von M überflüssig, wenn für jeden Untermodul $N \subset M$ gilt: Aus $M = N + R x$ folgt bereits $M = N$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist M endlich erzeugt, $N \subset M$ ein Untermodul von M mit $M = N + R a d (M)$ , dann ist bereits $M = N$ . Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
Rad(M)=0 gilt genau dann, wenn M isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher R-Moduln ist.
M ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn M artinsch und Rad(M)=0 ist.
Ist $M \not = 0$ und M endlich erzeugt, dann ist $Rad(M) \not = M$ .

[Bearbeiten] Jacobson-Radikal von Ringen

Im folgenden sei R ein Ring mit 1.

Das Jacobson-Radikal des Ringes R wird als das Jacobson-Radikal des R-Linksmoduls R definiert. Es wird als J(R) notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links-R-Moduln / Rechts-R-Moduln
$\{x\in R\mid \forall y\in R\colon 1-xy\in R^\times\}$
$\{x\in R\mid \forall y,z\in R\colon 1-zxy\in R^\times\}$
$\{x\in R\mid \forall z \in R\colon 1-zx \ \mathrm{ist \ linksinvertierbar} \}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Der Ring R ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und J(R)=0 ist.
Für jeden linksartinschen Ring R ist der Ring $R / J (R)$ halbeinfach.
Ist R linksartinsch, dann gilt für jeden R-Linksmodul M: J(R)M=Rad(M).
J(R) ist das kleinste Ideal I von R mit der Eigenschaft, dass R/I halbeinfach ist.
Ist N ein Nillinksideal von R, dann gilt: $N \subseteq J(R)$ .
Ist R linksartinsch, dann ist J(R) ein nilpotentes Ideal.
Ist R linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring $R\neq\{0\}$ die Existenz maximaler Ideale, für $R\neq\{0\}$ gilt also $J(R)\neq R$ .

[Bearbeiten] Beispiele

Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist ${0}$ .
Das Jacobson-Radikal von $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ ist $2\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ .
Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen $n\times n$ -Dreiecksmatrizen über einem Körper K enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.