Maximales Ideal

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Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

[Bearbeiten] Definition

Sei R ein kommutativer Ring und ein Ideal. Wir nennen maximal oder maximales Ideal, wenn für alle Ideale gilt:

Aus folgt

In anderen Worten: Ein Ideal ist maximal, wenn es nicht echte Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals von R ist.

[Bearbeiten] Bemerkungen

• Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zeigen, dass jedes Element aus R, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
• Sei ein Ideal von R. Der Faktorring ist genau dann ein Körper, wenn maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
• Jedes maximale Ideal ist ein Primideal. Dies folgt aus der letzten Bemerkung und daraus, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
• Jedes Ideal, welches nicht R ist, ist in einem maximalen Ideal enthalten.
• Ein Ring, der nur ein einziges maximales Ideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet.

[Bearbeiten] Beispiele

• Im Ring der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsbereiche mit dieser Eigenschaft heißen eindimensional.
• Sei der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus

Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ev₀ ist , also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit f(0) = 0, ein maximales Ideal.