Kegelstumpf

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Kegelstumpf

Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet.

Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche, die kleinere die Deckfläche. Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche bezeichnet. Unter der Höhe des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.

[Bearbeiten] Formeln

Formeln zum Kegelstumpf
Volumen	$V \, = \, \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)$
Länge einer Mantellinie	$m \, = \, \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$
Inhalt der Mantelfläche	$M \, = \, (R+r) \cdot \pi \cdot m$
Inhalt der Deckfläche	$A_1 \, = \, \pi \cdot r^2$
Inhalt der Grundfläche	$A_2 \, = \, \pi \cdot R^2$
	R	Radius der Grundfläche
	r	Radius der Deckfläche
	h	Höhe des Kegelstumpfs
	$\pi = 3{,}1415926535 \ldots$	Kreiszahl

[Bearbeiten] Beweise

[Bearbeiten] Volumen

Zuerst wird der Kegelstumpf folgendermaßen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem gezeichnet: Der Mittelpunkt des Deckkreises liegt im Ursprung, jener des Bodens beim Punkt $(0 | h)$ . Sei $R$ der Radius des Bodens und $r$ jener des Deckels.

Dieses Gebilde entspricht dem Graphen der linearen Funktion

$y \,=\, \frac{R-r}{h}\cdot x+r$

Lässt man diesen Graphen um die Abszisse rotieren, entsteht ein Kegelstumpf, dessen Volumen sich mit Hilfe der Integralrechnung berechnen lässt.

$V \,=\, \pi \cdot \int^h_0 \left(\frac{R-r}{h}\cdot x+r\right)^2dx$

$\,=\,\pi\int^h_0 \left(x^2\cdot\left(\frac{R-r}{h}\right)^2+r^2+2\cdot r\cdot\frac{R-r}{h}\cdot x\right)dx$

$\,=\,\left(\frac{R-r}{h}\right)^2\cdot\pi\int^h_0x^2dx+r^2\pi\int^h_0 1dx+2\cdot r\cdot \frac{R-r}{h}\cdot\pi\int^h_0 xdx$

$\,=\,\frac{(R-r)^2}{h^2}\cdot\pi\cdot\frac{h^3}{3}+r^2\pi\cdot h + 2r\pi\cdot \frac{R-r}{h}\cdot\frac{h^2}{2}$

$\,=\,\frac{(R-r)^2}{3}\cdot\pi\cdot h + r^2\pi\cdot h+ r\pi\cdot h\cdot (R-r)$

$\,=\,\frac{1}{3}h \pi(R^2-2Rr+r^2+3Rr-3r^2+3r^2)$

$\,=\,\frac{1}{3}h \pi(R^2+Rr+r^2)$

[Bearbeiten] Oberfläche

Die Oberfläche berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:

$A1 \, = \, \pi \cdot r^2$

$A2 \, = \, \pi \cdot R^2$

$M \, = \, \pi \cdot m \cdot ( r + R)$

$O \, = \, A1 + A2 + M$

$\, = \, \pi \cdot r^2 + \pi \cdot R^2 + \pi \cdot m \cdot ( r + R)$

[Bearbeiten] Mantelfläche

Abgewickelte Mantelfläche eines Kegelstumpfs

Die Mantelfläche berechnet sich aus der Differenz des Mantels aus dem Kegel, welcher aus der Grundfläche entsteht, und des Mantels des Kegels aus der Deckfläche:

$M \, = \, M1 - M2$

$\, = \, \pi \cdot R \cdot (m + x) - \pi \cdot r \cdot x$

$\, = \, \pi \cdot ( R \cdot (m + x) - r \cdot x ) ; \frac{r}{R}\, = \, \frac{x}{x+m}$

$\, = \, \pi \cdot ( R \cdot (m + \frac{m \cdot r}{R - r}) - \frac{m \cdot r \cdot r}{R - r} )$

$\, = \, \pi \cdot m \cdot ( R + \frac{R \cdot r}{R - r} - \frac{r \cdot r}{R - r} )$

$\, = \, \pi \cdot m \cdot ( R + \frac{R \cdot r - r \cdot r}{R - r})$

$\, = \, \pi \cdot m \cdot ( R + \frac{r \cdot (R - r)}{R - r})$

$\, = \, \pi \cdot m \cdot ( R + r)$

Siehe auch: Berechnung der Mantelfläche eines Kegels

[Bearbeiten] Berechnungsalternative

In der Schulmathematik darf normalerweise mit der obigen Formel für den Kegelstumpf nicht gearbeitet werden, sie ist auch meist in den in der Sekundarstufe I zugelassenen Formelsammlungen nicht enthalten.

Man kann das Volumen eines Kegelstumpfes auch berechnen, indem man den Kegelstumpf als Differenz eines großen und eines kleinen Kreiskegels auffasst. Dabei berechnet man mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) zunächst den Radius des oberen kleinen (unsichtbaren) Kegels. Dann ermittelt man die Volumina des kleinen und des großen Kegels und schließlich durch Subtraktion den Rauminhalt des Kegelstumpfes. Auf diese Weise kann auch die Oberfläche des Kegelstumpfes berechnet werden.