Keilprodukt

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Das Keilprodukt, auch als Dachprodukt oder äußeres (Vektor-)Produkt bezeichnet, ist das Produkt der äußeren oder Graßmann-Algebra (nach Hermann Graßmann) eines Vektorraumes V. Es hat üblicherweise ein kleines Dach, d.h. eine Spitze nach oben, als Multiplikationszeichen. Das Produkt ist assoziativ, antikommutativ und distributiv.

D.h., für drei Vektoren a, b, c aus V gilt (genauer für ihre Bilder in der Algebra):

$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ und
$a\wedge a=0$ , was (bei Charakteristik $\neq 2$ des Grundkörpers) zu $a\wedge b=-b\wedge a$ äquivalent ist,
$(a+\lambda b)\wedge c=a\wedge c+\lambda b\wedge c$ .

Inhaltsverzeichnis

1 Keilprodukt alternierender Multilinearformen
2 Beziehung zum Kreuzprodukt
3 Graßmann- und Plücker-Koordinaten von Teilräumen
4 Differentialformen

[Bearbeiten] Keilprodukt alternierender Multilinearformen

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ der Charakteristik 0. Weiter seien $\omega\colon V^k\to K$ und $\eta\colon V^\ell\to K$ Multilinearformen. Dann ist das Keilprodukt $\omega\wedge\eta$ die alternierende $n$ -Multilinearform mit $n=k+\ell$ , die durch

$(\omega\wedge\eta)(v_1,\ldots,v_n)=\frac1{k!\,\ell!}\sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma)\cdot\omega(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})\cdot\eta(v_{\sigma(k+1)},\ldots,v_{\sigma(k+\ell)})$

definiert ist; dabei ist $S n$ die symmetrische Gruppe auf der Menge $\{1,2,\ldots,n\}$ und $sgn(σ)$ das Vorzeichen der Permutation $\sigma\in S_n$ .

Dieses Produkt ist bilinear und assoziativ. Außerdem ist es graduiert-kommutativ (auch superkommutativ genannt):

$\omega\wedge\eta=(-1)^{k\ell}\eta\wedge\omega$

Ist $\{e_1,\ldots,e_n\}$ eine Basis von $V$ und $\{e_1^\lor,\ldots,e_n^\lor\}$ die dazu duale Basis, so ist

$D=e_1^\lor\wedge\ldots\wedge e_n^\lor$

eine alternierende $n$ -Multilinearform, für die

$D(v_1,\ldots,v_n)$

gleich der Determinante der von den Koordinatendarstellungen von $v_1,\ldots,v_n$ gebildeten Matrix ist, also der Determinante der linearen Abbildung, die $e i$ auf $v i$ abbildet ( $i=1,\ldots,n$ ).

[Bearbeiten] Beziehung zum Kreuzprodukt

Ist der Vektorraum der reelle Spaltenvektorraum $\mathbb R^3$ und seien zwei Vektoren in Koordinatendarstellung $\vec a = e_1\,a^1+e_2\,a^2+e_3\,a^3$ und $\vec b = e_1\,b^1+e_2\,b^2+e_3\,b^3$ gegeben. Wir multiplizieren das Keilprodukt mittels Distributivgesetz aus und erhalten

$\vec a\wedge\vec b=(a^1b^2-a^2b^1)e_1\wedge e_2 + (a^2b^3-a^3b^2) e_2\wedge e_3 + (a^3b^1-a^1b^3) e_3 \wedge e_1$ .

Damit hat das Keilprodukt genau die gleichen Koordinaten wie das Kreuzprodukt $\vec a\times\vec b$ beider Vektoren. (Genauer: Die beiden Produkte sind über den Hodge-Stern-Operator verbunden.)

Somit kann man das Keilprodukt als höherdimensionale Verallgemeinerung des Kreuzproduktes betrachten.

[Bearbeiten] Graßmann- und Plücker-Koordinaten von Teilräumen

Identifiziert man alle Keilprodukte, die sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden, so charakterisiert das Keilprodukt

$a_1\wedge\dots\wedge a_m$

eindeutig den Untervektorraum, der von den linear unabhängigen Vektoren a₁,...,a_m aufgespannt wird. Jede andere Basis desselben Untervektorraums erzeugt, bis auf eine Konstante, die die Determinante der Basiswechselmatrix ist, dasselbe Keilprodukt.

Sind a₁,...,a_m Spaltenvektoren der Dimension n, so kann man aus ihnen Spaltenvektoren a'₁,...,a'_m der Dimension n+1 machen, indem man als "0"-te Koordinate eine 1 voranstellt (sog. affine Koordinaten). Die Koordinaten des Keilproduktes

$a'_1\wedge\dots\wedge a'_m$

werden Plücker-Koordinaten genannt (nach Julius Plücker). Sind nicht alle davon 0, so charakterisieren sie eindeutig den affinen Teilraum des Rⁿ, der durch die Punkte a₁,...,a_m verläuft, die affine Hülle dieser Vektoren. Die Plücker-Koordinaten sind nur vom affinen Teilraum, aber nicht mehr von den Punkten abhängig, jedes andere m-Tupel, aus diesem Teilraum und in allgemeiner Lage, ergäbe dieselben Koordinaten.

Geraden im 3-dimensionalen Raum sind durch 2 Punkte gegeben und damit durch 6 Plücker-Koordinaten charakterisiert. Diese erfüllen allerdings eine Gleichung 2. Grades, so dass das entsprechende Keilprodukt auf der 5-dimensionalen Plücker-Quadrik liegt.

[Bearbeiten] Differentialformen

Das moderne Hauptanwendungsgebiet des Keilproduktes ist die Theorie der Differentialformen in der Differentialgeometrie. Dabei ist der erzeugende Vektorraum der Kotangentialraum einer Mannigfaltigkeit, welcher von den Differentialen differenzierbarer Funktionen aufgespannt wird.

Ist $F=(f_1,\dots,f_n):\mathbb R^m\supset U\to \mathbb R^n$ die Parametrisierung einer m-dimensionalen Untermannigfaltigkeit im $\mathbb R^n$ , so wird

$\omega=\partial_1 F\wedge\dots\wedge \partial_m F$

als m-dimensionales vektorielles Volumenelement betrachtet, das skalare Volumenelement ist über den Betrag von $ω$ definiert als : $\sqrt{\langle\omega,\omega\rangle}\,dx_1\wedge\dots\wedge dx_m = \left\| \omega \right\| \cdot dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_m$