Quadrik

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Als quadratische Form (auch Quadrik) bezeichnet man in der linearen Algebra spezielle Polynomfunktionen zweiten Grades mit mehreren Variablen. In Abhängigkeit der Anzahl der Variablen beschreiben diese Funktionen Kurven, Flächen oder Hyperflächen zweiter Ordnung.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
2 Beispiele
- 2.1 Kurven zweiter Ordnung
- 2.2 Flächen zweiter Ordnung
3 Siehe auch

[Bearbeiten] Definitionen

[Bearbeiten] Definition (Quadratische Form)

Für symmetrische Matrizen A heißt die Funktion

$q: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto q(x) = x^t \cdot A \cdot x$

eine quadratische Form.

Bemerkung: Ist A zusätzlich eine Diagonalmatrix, dann heißt q(x) rein quadratisch

Bemerkung: Jede allgemeine quadratische Form lässt sich durch Translationen und eine Hauptachsentransformation auf rein quadratische Form bringen.

[Bearbeiten] Erläuterung

$q(x) = x^t A x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j$

[Bearbeiten] Definition (Definitheit)

Sei x ∈ Rⁿ und q(x) eine quadratische Form, dann heißt q(x) :

positiv definit bzw. negativ definit, falls ∀x ≠ 0 : q(x) > 0 bzw. ∀x ≠ 0 : q(x) < 0

positiv semidefinit bzw. negativ semidefinit, falls ∀x ≠ 0 : q(x) ≥ 0 bzw. ∀x ≠ 0 : q(x) ≤ 0

indefinit, falls ∃x : q(x) > 0 und ∃x : q(x) < 0

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Kurven zweiter Ordnung

Allgemein für R²→R: q(x) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂²

Die geometrische Figur einer Kurve zweiter Ordnung wird als Kegelschnitt bezeichnet.

Beispiel 1.1

Beispiel 1.1

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + 4 x_1 x_2 + x_2^2$

Definitheit: Für x = (1,1) : q(x) > 0 und für x = (1,-1) : q(x) < 0 $\Rightarrow$ q(x) ist indefinit

Beispiel 1.2

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + 2 x_2^2$

Definitheit: ∀x ≠ 0 : q(x) > 0 ⇒ q(x) ist positiv definit

[Bearbeiten] Flächen zweiter Ordnung

Allgemein für R³→R: q(x) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² + 2a₁₃x₁x₃ + 2a₂₃x₂x₃ + a₃₃x₃²

Als geometrische Figur kann auftreten: Hyperboloid, Ellipsoid, Doppelkegel, Paraboloid, Zylinder, Ebenenpaar

Beispiel 2.1

Beispiel 2.1

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + x_2^2 + 4 x_1 x_3 + 4 x_2 x_3 + \frac{1}{2} x_3^2$