Benutzer:KleinKlio/Baustelle

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[Bearbeiten] Baustelle

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[Bearbeiten] Literatur

[Bearbeiten] Algebra

Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9

[Bearbeiten] Analysis und Funktionalanalysis

Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2
Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Auflage. Teubner-Verlag, 1992, ISBN 3-519-22206-X

[Bearbeiten] Funktionalanalysis

Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis : eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2
Haïm Brezis: Analyse fonctionnelle : théorie et applications. In:Mathématiques appliquées pour la maîtrise. Dunod, 2005, ISBN 2-10-049336-1
Nelson Dunford, Jacob Theodore Schwartz u. a.: Linear Operators, General Theory, and other 3 volumes, includes visualization charts. In: Pure and applied mathematics; 7. Wiley-Interscience, 1988, ISBN 0-47-022605-6
Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Auflage. Teubner-Verlag, 1992, ISBN 3-519-22206-X
Vivien Hutson, John S. Pym, Michael J. Cloud: Applications of Functional Analysis and Operator Theory. 2nd edition. Elsevier Science, 2005, ISBN 0444517901
Leonid P. Lebedev, Iosif I. Vorovič: Functional Anlysis in Mechanics. Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-95519-4
Martin Schechter: Principles of Functional Analysis. 2nd edition. Academic Press, 2001, ISBN 0-8218-2895-9
Sergej Lʹvovič Sobolev: Some applications of functional analysis in mathematical physics, Providence (RI), American Mathematical Soc., 1991, ISBN 0-8218-4549-7
Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. 6th edition. Springer-Verlag , 1980, ISBN 3-540-10210-8

[Bearbeiten] Lineare Algebra

Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8

[Bearbeiten] Physik

Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik: ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2

[Bearbeiten] Topologie

Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21393-7
Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1979, ISBN 3-540-09799-6
Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6
Thorsten Camps, Stefan Kühling und Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, 2006, ISBN 3-88538-115-X

[Bearbeiten] Zahlentheorie

Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58821-3
Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer-Verlag, 1996. ISBN 3-540-58791-8.

[Bearbeiten] Zwischenablage

Wenn ein System A sich längs einer Wegstrecke relativ zu einem System B bewegt und das System B dabei eine Kraft parallel bzw. antiparallel zur Bewegungsrichtung auf System A ausübt, dann wird Energie von System B auf System A bzw. umgekehrt übertragen. Die so durch eine Kraft (Impulsstrom) übertragene Energie wird als Arbeit bezeichnet. Man sagt dann, das System B „verrichtet Arbeit“ an A bzw. umgekehrt.

Vier Fälle von Energieaustausch zwischen einem bewegten Sytem A (links) und einem ruhenden System B: Die großen Pfeile stehen für die Kraft, die B auf A ausübt, die kleinen Pfeile zeigen die Richtung, in die sich A bewegt. Die gelben Pfeile zeigen an, ob B an A Arbeit verrichtet (Pfeil nach links) oder umgekehrt.

[Bearbeiten] Die Topologie der Kompakten Konvergenz

Wenn der Topologische Raum T lokalkompakt ist, lässt sich der Raum B_k(T,E) der Funktionen von T in den normierten Vektorraum E, die auf jeder kompakten Teilmenge von T beschränkt sind (im Sinne der Norm auf E), mit einer topologischen Struktur, der Topologie der kompakten Konvergenz versehen:

Zunächst existiert nach der Definition von B=B_k(T,E) für zwei Abbildungen f und g aus B mit der Norm $||\cdot||_E$ auf E der auf K eingeschränkte Abstand

$d_K(f,g):=||f|_K-g|_K||_\infty:=\sup_{x\in K} ||f(x)-g(x)||_E\;$

für jede (nichtleere) kompakte Teilmenge K von X. Für die Einschränkungen auf K ist dies eine Metrik, für B eine Pseudometrik, da die Einschränkungen von zwei verschiedenen Funktionen auf K übereinstimmen können.

Lässt sich der Raum T als Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen $(K_j)_{j\in \Bbb N}$ , also in der Form $T=\cup_{j\in \Bbb N}(K_j)$ darstellen, dann kann man diese Metriken $d_j=d_{K_j}$ zu der Metrik

$d(x,y)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} 2^{-i} \frac{d_j(x,y)}{1+d_j(x,y)}$

auf B zusammensetzen. Damit wird (B,d) zu einem Metrischen Raum.

In allgemeineren Fällen, wenn keine solche Darstellung für T möglich oder bekannt ist, lässt sich durch ein beliebiges System kompakter Mengen $(K_j)_{j\in J}$ , das T überdeckt, mit den jeweiligen Pseudometriken $d_j=d_{K_j}$ eine Familie von Pseudometriken $(d_j)_{j\in J}$ auf B auswählen, die eine [[Uniformer Raum|uniforme Struktur auf B definieren. Auch hierzu sind die technischen Details im Artikel Pseudometrik erläutert.

[Bearbeiten] Beispiele

Ist $T=\Bbb R$ , so bildet das System $\{K_j:=[-j;j]|j\in\Bbb N^\setminus \{0\}\}$ ein abzählbares System von kompakten Mengen, die T überdecken. Damit kann eine Metrik der kompakten Konvergenz auf der Abbildungsmenge $B_k(\Bbb R,\Bbb R)$ eingeführt werden.
Ganz entsprechend kann man die Metrik auf der Menge der kompakt beschränkten Abbildungen $B_k(\Bbb R^n,\Bbb R^m)$ aus einem n-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen reellen Vektorraum mit einer Metrik versehen. Als Überdeckung können hier z. B. Quader (der Kantenlänge 2j mit Schwerpunkt im Ursprung) oder Kugeln (mit Radius j um den Ursprung) gewählt werden.
Ist $T$ ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet der komplexen Zahlenebene, dann lässt sich sich T durch die Mengen $K_j:=\{ x\in T| d_H(x,\partial T)\geq \frac{1}{j} \}$ überdecken ( $d H$ misst den Abstand vom Rand im Sinne der Hausdorff-Metrik). Auch hier erweist sich damit die Topologie der kompakten Konvergenz als metrisierbar.

[Bearbeiten] Fundamentalsystem einer uniformen Struktur

Sei Φ ein Nachbarschaftssystem. Ein Teilsystem F von Φ beißt Fundamentalsystem von Φ, wenn jede Nachbarschaft aus Φ eine Nachbarschaft aus F enthält.

Ein Fundamentalsystem spielt für die uniforme Struktur die Rolle, die eine Basis für die Topologie in allgemeinen topologschen Räumen spielt. Dies lässt sich so präzisieren: Bezeichne

$F(x):=\{N\in F: (x,x)\in N\}$ die Menge der Nachbarschaften eines Punktes x und
$F[x]:=\{U[x]: U\in F(x)\}$ .

Dann ist F[x] eine Umgebungsbasis von x und die Vereinigung $B=\bigcup_{x\in X} F[x]$ aller Umgebungsbasen eine Basis der Topologie.

[Bearbeiten] Ein Kriterium für Fundamentalsysteme

Wie eine Basis zur Definition einer eindeutigen topologischen Struktur verwendet werden kann, so kann man mit einem Fundamentalsystem eine eindeutige uniforme Struktur definieren:

Sei F ein System von Teilmengen von $X\times X$ mit folgenden Eigenschaften:

Jedes Element von F enthält die identische Relation.
Jeder endliche Durchschnitt von Mengen aus F enthält eine Menge aus F.
Für jedes Element N aus F existiert ein M aus F mit $M\subseteq N^{-1}$ .
Für jedes Element N aus F existiert ein M aus F mit $M^2\subseteq N$ .

Dann ist $\Phi:= \{N\in X\times X:\exists M\in N: M\subseteq N \}$ eine uniforme Struktur auf X mit F als Fundamentalsystem.

Diese vier Eigenschaften beschreiben die Elemente von F als Klasse von binären Relationen auf X. Die erste Eigenschaft fordert, dass jede dieser Relationen reflexiv ist. Die zweite Eigenschaften beschreibt das Verhältnis dieser Relationen untereinander, sie lässt sich auch so formulieren:

Jede endliche Menge von Relationen aus F hat eine gemeinsame Verschärfung in F.

Die dritte und vierte Eigenschaft schwächen folgende Attribute von Einzelrelationen ab:

Sind alle Relationen aus $F$ symmetrisch, dann ist 3. erfüllt.
Sind alle Relationen aus $F$ transitiv, dann ist 4. erfüllt.

[Bearbeiten] Aus Galoisgruppe

Ist $F = K (α)$ eine einfache Körpererweiterung, dann gilt für die Wurzelmenge $W f$ (die Menge der Nullstellen in einem algebraischen Abschluss des Körpers $K$ ) des Minimalpolynoms $f$ : $\vert W_f \cap F \vert = \vert \mathrm{Gal}(F/K)\vert$ . Also gilt $\vert \mathrm{Gal}(F/K)\vert = [F:K]$ genau dann, wenn $f$ separabel ist und in $L$ in Linearfaktren zerfällt.

[Bearbeiten] Spielwiese

$ω$

$\mathbb{N}$

Lipschitz-stetig

Gibt es eine Portalmath- Politik für folgendes und verwandte Probleme (Beispiel): Die Begriff Lipschitz-stetig und Lipschitz-Bedingung werden im Artikel Lipschitz-Stetigkeit für normierte Räume definiert. Im Artikel Kontraktion wird er mehr oder weniger implizit auf metrische Räume verallgemeinert, was sicher von der Sache her sinnvoll ist. Thesen:

Es kann sicher nicht sinnvoll sein, im Zuge der Entwicklung einzelner Artikel die Grundlagenartikel immer weiter zu verallgemeinern.
Speziell bei Begriffen, die einen Mathematiker im Namen tragen, scheint es mir wichtig, dass irgendwo der historische Kern erklärt wird, das heißt, was genau der Namenspatron darunter verstanden hat bzw. (in den meisten Fällen dürften ja andere für die Benennung „zu Ehren von ...“ verantwortlich sein) was er zu dem Gebiet in der damaligen Form beigetragen hat.

Von „http://de.wikipedia.org../../../k/l/e/Benutzer%7EKleinKlio_Baustelle_ab5e.html“