Lipschitz-Stetigkeit

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Lipschitz-stetig ist ein Begriff aus der Analysis. Die Lipschitz-Stetigkeit ist nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz (1832-1903) benannt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Anwendung
4 Lokale Lipschitz-Stetigkeit
5 Beispiel

[Bearbeiten] Definition

Seien $V$ und $W$ normierte Räume mit den Normen $\|\cdot\|_V$ bzw. $\|\cdot\|_W$ (man denke zum Beispiel an $V=\mathbb{R}^n$ und $W=\mathbb{R}^m$ jeweils ausgestattet mit der euklidischen Norm). Außerdem sei $G$ eine Teilmenge von $V$ .

Eine Funktion $f:G\rightarrow W$ erfüllt in einer Menge $M\subseteq G$ die Lipschitz-Bedingung, wenn es eine (nichtnegative) reelle Zahl $L$ gibt, mit der die Bedingung

$\forall x_1,x_2 \in M : \left\| f(x_1)-f(x_2)\right\|_W \le L \cdot \left\| x_1-x_2 \right\|_V$

erfüllt ist.

In diesem Fall sagt man, $f$ sei Lipschitz-stetig auf $M$ , und $L$ wird Lipschitz-Konstante genannt. Existiert ein solches L im gesamten Definitionsgebiet $G$ , so erfüllt $f$ eine gleichmäßige Lipschitz-Bedingung in $G$ . Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als eins nennt man Kontraktion. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Nach dem Satz von Rademacher ist eine Lipschitz-stetige Funktion fast überall stetig differenzierbar. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht Lipschitz-stetig sind, z. B. $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},~x\mapsto x^2$ . Eine differenzierbare Funktion $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ mit $a,b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ ist genau dann Lipschitz-stetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.
Lipschitz-stetige Funktionen sind ferner gleichmäßig stetig (wähle $\delta=\frac{\varepsilon}{L}$ in der $\varepsilon$ - $δ$ -Definition der gleichmäßigen Stetigkeit). Daher kann man auch sagen, dass Lipschitz-stetig „mehr“ als gleichmäßig stetig ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z.B. die Funktion $f:[0,1]\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto\sqrt x$ zwar gleichmäßig stetig, jedoch nicht Lipschitz-stetig (siehe späteres Beispiel).

[Bearbeiten] Anwendung

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf).

[Bearbeiten] Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Eine Abschwächung der Lipschitz-Stetigkeit ist die lokale Lipschitz-Stetigkeit, für die es je nach Anwendung verschiedene Definitionen gibt:

Sei $D\subset\mathbb{R}^{m+n},~f(x,y):D\rightarrow\mathbb{R}^n.~f$ erfüllt die lokale Lipschitz-Bedingung bzgl. $y\in\mathbb{R}^n$ genau dann, wenn
$\forall (\xi, \eta)\in D~\exists\delta>0, L>0~\forall x,y,\tilde{y}$ mit $(x,y), (x,\tilde{y})\in D,~\left\|x-\xi\right\|<\delta,~\left\|y-\eta\right\|<\delta,~\left\|\tilde{y}-\eta\right\|<\delta: \left\|f(x,y)-f(x,\tilde{y})\right\|<L\left\|y-\tilde{y}\right\|$ .
Sei $D\subset\mathbb{R}^2,~f(x,y):D\rightarrow\mathbb{R}.~f$ erfüllt die lokale Lipschitz-Bedingung bzgl. $y\in\mathbb{R}^n$ genau dann, wenn $\forall r>0~\exists L_r>0~\forall x\in D,|y|,|\tilde{y}|\leq r:\left\|f(x,y)-f(x,\tilde{y})\right\|<L_r\left\|y-\tilde{y}\right\|$ .
Seien $(X, d x),(Y, d y)$ metrische Räume, $\mathcal{U}(\cdot)$ der Umgebungsfilter. $f:X\rightarrow Y$ heißt lokal Lipschitz-stetig $:\Leftrightarrow$ $\forall x\in X~\exists U\!\in\mathcal{U}(x):U\subset X,~f|_U:U\rightarrow Y$ ist Lipschitz-stetig.

[Bearbeiten] Beispiel

Für die Funktion $f: [a,b] \to \mathbb{R}, x\mapsto x^2$ gilt: $|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x+y|\cdot|x-y|$ und so kann man die Lipschitzkonstante

$L:=\max_{x\in [a,b]}(|x+y|)=2\max{(|a|,|b|)}$

definieren. Wegen $|x+y|\to\infty(x\to\pm\infty)$ folgt, dass $f$ für einen beschränkten Definitionsbereich Lipschitz-stetig ist, für unbeschränkte jedoch nicht.

Leicht sieht man ein, dass für eine gleichmäßig Lipschitz-stetige Funktion $f: G\rightarrow W$ der Quotient $\frac{\|f(x)-f(y)\|_W}{\|x-y\|_V}$ mit $x,y\in G$ und $x\neq y$ durch jede Lipschitz-Konstante von $f$ nach oben beschränkt ist.

Daraus folgt, dass die Funktion $f: [0,b]\to \mathbb{R^+}, x\mapsto\sqrt{x}$ wegen $\frac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|}=\frac{1}{\sqrt{x}}\rightarrow\infty\quad (x\rightarrow0, x\neq 0)$ nicht Lipschitz-stetig ist.