Mengendiagramm

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Mengendiagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Mengenlehre. Es gibt unterschiedliche Arten von Mengendiagrammen, zum Beispiel Euler-Diagramme (nach Leonhard Euler), Venn-Diagramme (nach John Venn) oder Johnston-Diagramme. Sie unterscheiden sich in erster Linie hinsichtlich ihres Anwendungsbereichs.

Mengendiagramme können Mengenbeziehungen verdeutlichen, sind jedoch im Allgemeinen nicht als mathematische Beweismittel geeignet. Als Beweismittel eignen sich nur solche Mengendiagramme, die alle möglichen Relationen der vertretenen Mengen darstellen; solche Diagramme werden Venn-Diagramme genannt. Der Nachteil von Venn-Diagrammen liegt darin, dass sie bei mehr als drei beteiligten Mengen rasch unübersichtlich werden, weil sie bei n Objekten $2 n$ Möglichkeiten darstellen müssen. Venn selber konnte unter der Verwendung von Ellipsen bis zu vier, schließlich sogar fünf beteiligte Mengen darstellen.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
2 Anwendungsbereiche
3 Geschichte
4 Programme zum Erstellen von Mengendiagrammen
5 Weblinks

[Bearbeiten] Beispiele

Es sind die folgenden Veranschaulichungen üblich:

	$x \in A$ ; $x$ ist ein Element von $A$ .
	$x \notin A$ ; $x$ ist nicht Element von $A$
	$B \subset A$ bzw. $A \supset B$ ; $B$ ist eine Teilmenge von $A$ bzw. $A$ ist Obermenge von $B$ .

Die folgenden Mengendiagramme sind Venn-Diagramme, weil jedes von ihnen alle möglichen Relationen zweier Mengen A und B zeigt: Der Kreis für A zeigt den Umfang der Menge A, der Kreis für B den Umfang der Menge B. Die Schnittfläche der beiden Kreise A bzw. B zeigt den Umfang der Schnittmenge der Mengen A und B; und so weiter. Jener Teil des Kreises A, der außerhalb der Schnittfläche beider Kreise liegt, umfasst alle Elemente der Menge A, die nicht auch Elemente der Menge B sind. Jener Teil des Kreises B, der außerhalb der Schnittfläche beider Kreise liegt, umfasst alle Elemente der Menge B, die nicht auch Elemente der Menge A sind; und so weiter.

	$A \cap B$ (Durchschnitt); $A$ geschnitten mit $B$ , also alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.
	$A \cup B$ (Vereinigungsmenge); A vereinigt mit B, also alle Elemente, die in $A$ oder in $B$ oder in beiden enthalten sind.
	$A \setminus B$ (Differenzmenge); $A$ ohne $B$ , also alle Elemente, die in $A$ enthalten sind, aber nicht in $B$ .
Venndiagramm	Hier ein weiteres Venndiagramm für drei Mengen a, b, c (beschriftet für eine begriffslogische Interpretation): Begriffslogisch interpretiert stellt dieses Diagramm den Schluss von Alle a sind b und Alle b sind c auf Alle a sind c dar. Mengentheoretisch gelesen zeigt es, dass wenn a eine Teilmenge von b ist und b eine Teilmenge von c ist a eine Teilmenge von c ist.

[Bearbeiten] Anwendungsbereiche

Euler-Diagramme

Euler-Diagramme werden in erster Linie dazu eingesetzt, mengentheoretische Sachverhalte, zum Beispiel die Teilmengeneigenschaft, anschaulich zu machen.

Venn-Diagramme

Venn-Diagramme lassen sich, da sie alle Relationen zwischen den betrachteten Mengen darstellen, dazu verwenden, Zusammenhänge abzulesen und aus dem Vorliegen einzelner Relationen auf das Vorliegen anderer Relationen zu ziehen. In obigem Beispieldiagramm wird z.B. aus der Tatsache, dass a eine Teilmenge von b und dass b eine Teilmenge von c ist, darauf geschlossen, dass a eine Teilmenge von c sein muss.

Da Begriffsumfänge im üblichen Verständnis Mengen sind, eignen sich Eulerdiagramme gut als Visualisierungsmittel, Venn-Diagramme gut als Beweismittel für Begriffslogiken, letzteres wenn die Zahl der zu verknüpfenden Begriffe klein genug ist, dass ein Venn-Diagramm dafür gezeichnet werden kann. Ist die Zahl zu groß gibt es Zeichenprobleme, keine prinzipiellen. Man kann das zugrundeliegende Prinzip verallgemeinern und für Computerprogramme nutzen. Es wird dann z.B. die Teilmengenbeziehung $S \subset P$ als Syllogismus der A-Form (Alle S sind P) gedeutet.

Johnston-Diagramme

Johnston-Diagramme sind eine zweiwertige aussagenlogische Interpretation von Mengendiagrammen, speziell Venn-Diagrammen. In einem Johnston-Diagramm wird ein Kreis (eine Menge) P als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen eine Aussage P wahr ist. Der Bereich außerhalb des Kreises (das Komplement der Menge) P wird als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen die Aussage falsch ist. Um zu sagen, dass eine Aussage wahr ist, malt man den ganzen Bereich außerhalb ihres Kreises schwarz an; man zeigt so an, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage nicht wahr ist, nicht zutreffen können. Um umgekehrt zu sagen, dass eine Aussage falsch ist, malt man den Bereich innerhalb ihres Kreises schwarz aus; man sagt so, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage wahr ist, nicht zutreffen können. Kombiniert man zwei Aussagen P, Q durch eine Konjunktion, d.h. will man ausdrücken, dass beide Aussagen wahr sind, malt man die gesamte Fläche, die außerhalb der Schnittfläche der Kreise P, Q liegt, schwarz an; man sagt so, dass keiner der Sachverhalte, unter denen nicht sowohl P als auch Q zutreffen, vorliegen kann.

Johnston-Diagramme sind somit eine Abbildung der klassischen Aussagenlogik auf die elementare Mengenlehre, wobei die Negation als Komplementbildung, die Konjunktion als Schnitt und die Disjunktion als Vereinigung dargestellt werden. Die Wahrheitswerte wahr und falsch werden Allmenge bzw. auf die leere Menge abgebildet.

[Bearbeiten] Geschichte

Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker im 18. Jahrhundert, führte das Euler-Diagramm ein. John Venn, britischer Mathematiker im 19. Jahrhundert, führte 1881 das Venn-Diagramm ein.