Modul (Mathematik)

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Links- oder Rechts-Modul

berührt die Spezialgebiete

Mathematik
- Abstrakte Algebra
- Lineare Algebra

ist Spezialfall von

additive Abelsche Gruppe
trägt Operation eines Rings

umfasst als Spezialfälle

Ring (Modul über sich selbst)
kommutativer Modul
- Vektorraum

Ein Modul (maskulinum, auf der ersten Silbe betont; Plural: Moduln) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement
- 1.1 Beispiele
2 Moduln über einem beliebigen Ring
- 2.1 Alternative Definitionen
- 2.2 Bimoduln
3 Moduln über einer assoziativen Algebra
4 Moduln über einer Liealgebra
5 Moduln über einer Gruppe

[Bearbeiten] Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

In diesem einfachsten Fall kann man direkt die Axiome eines Vektorraums abschreiben und überall „Körper“ durch „Ring“ ersetzen: Ein Modul über einem kommutativen Ring $(R, +, \cdot)$ mit Einselement ist eine abelsche Gruppe $(M, + )$ zusammen mit einer Abbildung

$R\times M\to M,\quad(r,m)\mapsto r\cdot m$ („Skalarmultiplikation“),

so dass gilt:

$r_1\cdot(r_2\cdot m) = (r_1\cdot r_2)\cdot m$

$(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m$

$r\cdot (m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2$

Fordert man zusätzlich noch $1\cdot m=m$ , so nennt man den Modul unitär.

Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

[Bearbeiten] Beispiele

1. Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer $\mathbb{Z}$ -Modul: Wegen

$1\cdot m=m$

ist

$k\cdot m=m+\ldots+m$ und $(-k)\cdot m=-(m+\ldots+m)$

für natürliche Zahlen $k$ (hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben).

2. $k [T]$ -Moduln für einen Körper $k$ sind Paare $(V, A)$ bestehend aus einem $k$ -Vektorraum $V$ und einem Endomorphismus $A$ von $V$ :

Zu einem $k [T]$ -Modul $V$ betrachten wir das Paar $(V, A)$ , bei dem $A$ durch

$V\to V,\quad v\mapsto T\cdot v.$

gegeben ist.

Zu einem Paar $(V, A)$ definieren wir eine $k [T]$ -Modulstruktur durch

$p(T)\cdot v:=p(A) v=a_0 v + a_1\cdot Av + a_2\cdot A^2v + \ldots + a_n\cdot A^nv$

für $p(T)=a_0+a_1T+a_2T^2+\ldots+a_nT^n\in k[T].$

3. Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation.

[Bearbeiten] Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei $R$ ein Ring.

Ein $R$ -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer $\mathbb{Z}$ -bilinearen Abbildung

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,$

d.h.

(r 1 + r 2) m = r 1 m + r 2 m

und

r (m 1 + m 2) = r m 1 + r m 2,

so dass

r 1 (r 2 m) = (r 1 r 2) m

für alle $r_1,r_2\in R,m\in M$

gilt. Wird $R$ als unitär angenommen, so fordert man meist auch, dass $M$ ein unitärer Modul ist, d.h.

$1\cdot m=m.$

Ein $R$ -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer $\mathbb{Z}$ -bilinearen Abbildung

$M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,$

so dass

(m r 1) r 2 = m (r 1 r 2)

für alle $r_1,r_2\in R,m\in M.$

Unitäre Rechtsmoduln sind analog zu unitären Linksmoduln definiert.

Ist $R$ kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von $R$ -Moduln.

[Bearbeiten] Alternative Definitionen

Ein $R$ -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

$R\to\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M.$

Dabei ist $\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M$ der Ring der Endomorphismen von

M

mit der Verknüpfung als Produkt:

$(f_1\cdot f_2)(m) = f_1(f_2(m))$ für $f_1,f_2\in\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M, m\in M.$

Ein $R$ -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

$R\to(\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}};$

Dabei sei $(\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^\mathrm{op}$ der Ring der Endomorphismen von

M

mit der Rechtsverknüpfung als Produkt:

$(f_1\cdot f_2)(m) = f_2(f_1(m))$ für $f_1,f_2\in(\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}}, m\in M.$

[Bearbeiten] Bimoduln

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Dann ist ein $R$ - $S$ -Bimodul eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer $R$ -Linksmodul- und einer $S$ -Rechtsmodulstruktur, so dass

(r m) s = r (m s)

für $r\in R,s\in S,m\in M$

gilt.

Alternativ ist ein $R$ - $S$ -Bimodul eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus

$R\times S^{\mathrm{op}}\to\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M.$

[Bearbeiten] Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine assoziative R-Algebra, so ist ein $A$ -Linksmodul ein $R$ -Modul $M$ zusammen mit einem $R$ -Modulhomomorphismus

$A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,$

so dass

a 1 (a 2 m) = (a 1 a 2) m

für $a_1,a_2\in A,m\in M$

gilt.

Ein $A$ -Rechtsmodul ist ein $R$ -Modul $M$ zusammen mit einem $R$ -Modulhomomorphismus

$M\otimes_RA\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,$

so dass

(m a 1) a 2 = m (a 1 a 2)

für $a_1,a_2\in A,m\in M$

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

[Bearbeiten] Moduln über einer Liealgebra

Es sei $\mathfrak g$ eine Liealgebra über einem Körper $k$ . Ein $\mathfrak g$ -Modul oder eine Darstellung von $\mathfrak g$ ist ein $k$ -Vektorraum $M$ zusammen mit einer $k$ -bilinearen Abbildung

$\mathfrak g\times M\to M,\quad (X,m)\mapsto X\cdot m = Xm,$

so dass

[X, Y] m = X Y m - Y X m

für $X,Y\in\mathfrak g,m\in M$

gilt.

Alternativ ist ein $\mathfrak g$ -Modul ein $k$ -Vektorraum $M$ zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über $k$

$\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);$

dabei ist $\mathfrak{gl}(M)$ die $k$ -Algebra der Endomorphismen von $M$ mit dem Kommutator als Lieklammer.

$\mathfrak g$ -Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von $\mathfrak g$ .

[Bearbeiten] Moduln über einer Gruppe

Es sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Ein $G$ -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $(M, + )$ zusammen mit einer Abbildung

$G\times M\to M, (g,m)\mapsto gm:=g\cdot m$ ,

so dass

g (m 1 + m 2) = g m 1 + g m 2

für $g\in G,m_1,m_2\in M$

und

(g 1 g 2) m = g 1 (g 2 m)

für $g_1,g_2\in G,m\in M$

gilt.

Ein $G$ -Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

m (g 1 g 2) = (m g 1) g 2

für $g_1,g_2\in G,m\in M$

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein $G$ -Linksmodul eine abelsche Gruppe $(M, + )$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M;$

dabei ist $\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M = (\mathrm{End}_{ \mathbb Z}\,M )^\times$ die Gruppe der Automorphismen von $M$ mit der Verknüpfung

$(f_1\cdot f_2)(m)=f_1(f_2(m))$ für $f_1,f_2\in\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M,m\in M.$

Ein $G$ -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $(M, + )$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to(\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}};$

das Produkt auf $(\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}}$ ist durch

$(f_1\cdot f_2)(m)=f_2(f_1(m))$ für $f_1,f_2\in(\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}},m\in M$

gegeben.

Ist $R$ weiter ein Ring, so ist ein $G$ - $R$ -Modul eine abelsche Gruppe mit einer $R$ -Modul- und einer $G$ -Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind: