Multipolentwicklung

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Als Multipolentwicklung versteht man die Taylorentwicklung eines Potentials, bei der verschiedene Multipol-Momente auftreten.

[Bearbeiten] Elektrostatik

Das Potential $\Phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int d^3r'\frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$ zur Ladungsverteilung ρ lässt sich für große Abstände schreiben als:

$\Phi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{Q}{r} + \frac{\vec{r}\cdot\vec{p}}{r^3} + \frac{1}{2}\sum_{k,l}Q_{kl}\frac{r_k\cdot r_l}{r^5}+...\right)$

Mit den Multipolmomenten:

Monopolmoment $Q=\int d^3r' \rho(\vec{r}')$ - entspricht der Gesamtladung
Dipolmoment $\vec{p}=\int d^3r' \vec{r}'\rho(\vec{r}')$
Quadrupolmoment $Q_{kl} = \int d^3r' \rho(\vec{r}')(3r'^k r'^l - (r')^2\delta_{kl})$ - ein spurfreier symmetrischer Tensor

Für einzelne Punktladungen q_i gilt:

Monopolmoment $Q=\sum_{i=1}^{n} q_i$
Dipolmoment $\vec{p}=\sum_{i=1}^{n} q_i \vec r_i$
Quadrupolmoment $Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_i^k r_i^l - (r_i)^2\delta_{kl})$

[Bearbeiten] Magnetostatik

Das Vektorpotential $\vec {A}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{{4\pi}}\int d^3r'\frac{\vec j(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$ hat naheliegend kein Monopolmoment.

[Bearbeiten] Herleitung

Die Multipolentwicklung trennt bei den einzelnen Summanden der Entwicklung den Ort $\vec r$ und die von der Ladungsverteilung $\rho(\vec{r}')$ abhängigen Größen (Momente) voneinander. Bei der zugrundeliegenden Taylorentwicklung muss beim Summanden n-ter Ordnung ein Tensor n-ter Stufe, nämlich $\nabla^n \frac{1}{r}$ , berechnet werden.

$\frac{1}{{\left| {\vec r - \vec r'} \right|}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n!}}\left( { - \vec r' \cdot \nabla } \right)^n \frac{1}{r} = \frac{1}{r} - } \vec r' \cdot \nabla \frac{1}{r} + \frac{1}{2} \vec r' \cdot \nabla \nabla \frac{1}{r} \cdot \vec r' + O(r'^3 )$

mit $\nabla \frac{1}{r} = - \frac{{\vec r}}{{r^3 }}$

und $\nabla \nabla \frac{1}{r} = - \nabla \frac{{\vec r}}{{r^3 }} = - \left( {\nabla \frac{1}{{r^3 }}} \right)\vec r - \frac{1}{{r^3 }}\nabla \vec r = - \left( {-3 \frac{\vec r}{{r^5 }}} \right)\vec r - \frac{1}{{r^3 }}E = 3\frac{{\vec r\vec r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E$ , wobei $E$ die Einheitsmatrix und $\vec r\vec r$ ein dyadisches Produkt ist.

Damit lassen sich die ersten drei Glieder der Entwicklung schreiben als

$\frac{1}{r} + \frac{{\vec r}}{{r^3 }} \cdot \vec r' + \frac{1}{2} \vec r' \cdot \left( {3\frac{{\vec r\vec r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E} \right) \cdot \vec r' = \frac{1}{r} + \frac{{\vec r}}{{r^3 }} \cdot \vec r' + \frac{1}{2} \frac{{\vec r\vec r}}{{r^5 }}:\left( {3\vec r'\vec r' - r'^2 E} \right)$ , wobei $:$ ein doppeltes inneres Produkt ist.

In Indexschreibweise stellt es sich so dar: $\frac{1}{r} + \frac{{x_i }}{r}x_i ' + \frac{1}{2}\frac{{x_i x_j }}{{r^5 }}(3x_i 'x_j ' - r'^2 \delta _{ij} )$

Einsetzen liefert das Potential, hier elektrisches Potential, wo die Momente direkt abgelesen werden können.

$\Phi \left( {\vec r} \right) = \frac{1}{{4\pi \varepsilon _0 }}\left[ {\frac{1}{r} \underbrace{\int {\rho (\vec r')d^3 r'}}_{\rm Monopol-} + \frac{{\vec r}}{{r^3 }} \cdot \underbrace{\int {\vec r'\rho (\vec r')d^3 r'}}_{\rm Dipol-} + \frac{1}{2}\frac{{\vec r\vec r}}{{r^5 }}: \underbrace{\int {\left( {3\vec r'\vec r' - r'^2 E} \right)\rho (\vec r')d^3 r'}}_{\rm Quadrupolmoment} + ...} \right]$

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Kategorie: Theoretische Physik

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