Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre

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Die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, kurz: NBG, ist eine Axiomatisierung der Mengenlehre. Sie baut auf den Axiomen einer Prädikatenlogik erster Stufe und zusätzlichen mengentheoretischen Axiomen auf, und ist nach John von Neumann, Paul Bernays und Kurt Gödel benannt. Sie ist äquivalent zur häufiger benutzten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (kurz: ZFC).

Im Gegensatz zu ZFC sind die Grundobjekte von NBG nicht Mengen, sondern Klassen.

Mengen sind innerhalb von NBG wie folgt definiert:

Eine Klasse ist genau dann eine Menge, wenn sie Element einer Klasse ist.

$Mg(X) :\leftrightarrow \exists Y: X \in Y$

Klassen enthalten insbesondere nur Mengen als Elemente.

Klassen, die keine Mengen sind, werden als echte Klassen oder – etwas scherzhaft – als Unmengen bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dass genau jene Klassen echt sind, die zur Allklasse, der Klasse aller Mengen, gleichmächtig sind. Der Mengenbildungsprozess scheitert also, wenn man zu viele Elemente zusammenfassen will.

[Bearbeiten] Die NBG-Axiome

In der nachfolgenden Auflistung der NBG-Axiome bezeichnen Großbuchstaben Klassen und Kleinbuchstaben Mengen.

Extensionalitätsaxiom: Zwei Klassen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

$\forall X, Y: (X=Y \leftrightarrow \forall z: (z \in X \leftrightarrow z \in Y))$

Axiom der leeren Menge: Es existiert eine Klasse, die keine Elemente enthält.

$\exist X: \forall y: \lnot (y \in X)$

Diese Klasse X ist nach dem Extensionalitätsaxiom eindeutig bestimmt und wird im Folgenden mit $\varnothing$ bezeichnet. Auch in den meisten weiteren Axiomen gilt, dass die als existent postulierten Klassen bzw. Mengen qua Extensionalität eindeutig sind. In diesen Fällen ist die Einführung entsprechender Schreibweisen gerechtfertigt und wird im Folgenden auch angegeben.

Paarmengennaxiom: Zu je zwei Mengen x und y existiert eine Menge z, die genau die Elemente x und y hat .

$\forall x, y : \exist z : \forall w : (w \in z \leftrightarrow (w=x \or w=y))$

Bezeichnung:

{x, y}

, im Sonderfall

x = y

auch

{x}

Vereinigungsaxiom: Zu jeder Klasse X existiert eine Klasse Y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von X sind.

$\forall X : \exist Y : \forall z : (z \in Y \leftrightarrow \exist w : (w \in X \and z \in w))$

Bezeichnung: $\bigcup X$ . Statt $\bigcup \{ x, y \}$ schreibt man auch $x \cup y$ .

Bemerkung: Die Vereinigung $X \cup Y := \{ z \mid z \in X \lor z \in Y\}$ zweier echter Klassen wird erst weiter unten durch das Komprehensationsaxiom gerechtfertigt. Für Mengen x, y gilt jedoch $\{z \mid z \in x \lor z \in y\} = \bigcup \{ x, y \}$ , d.h. beide Definitionen stimmen überein.

Potenzmengenaxiom: Zu jeder Menge x existiert eine Menge y, deren Elemente genau die Teilmengen von x sind.

$\forall x : \exists y : \forall z : (z \in y \leftrightarrow \forall w: (w \in z \rightarrow w \in x))$

Bezeichnung: $\mathcal{P}(x)$ oder

2 x

Unendlichkeitsaxiom: Es existiert eine Klasse X, die die leere Menge und mit jedem Element y auch die Menge $y \cup \{y\}$ enthält.

$\exist X : (\varnothing \in X \and \forall y : (y \in X \rightarrow y \cup \{y\} \in X))$

Regularitätsaxiom (auch Fundierungsaxiom): Jede nichtleere Klasse X enthält ein Element y, so dass X und y disjunkt sind.

$\forall X : (X \neq \varnothing \rightarrow \exists y : (y \in X \land \lnot \exist z : (z \in X \land z \in y)))$

Komprehensationsschema: Zu jeder Eigenschaft $\varphi$ existiert die Klasse aller Mengen, auf die $\varphi$ zutrifft.

$\forall X_1,\ldots,X_n: \exists Y: \forall z: (z \in Y \leftrightarrow \varphi (z,X_1,\ldots,X_n))$

Dabei ist $\varphi$ eine Formel, die nur Mengenquantoren enthält ( $\forall x, \ \exists x$ ).

Bezeichnung: $\{ z \mid \varphi (z,X_1,\ldots,X_n)\}$

Ersetzungsschema: Das Bild einer Menge unter einer Funktion ist wieder eine Menge.

$\forall F, x: (F \mbox{ Funktion } \rightarrow \exists y : \forall z: (z \in y \leftrightarrow \exists w: (w \in x \and (w,z) \in F)))$

Dabei ist eine Funktion eine rechtseindeutige Klasse von geordneten Paaren.

Bezeichnung: $\{ F(w) \mid w \in x\}$

Auswahlaxiom: Es existiert eine Funktion, die jeder nichtleeren Menge eines ihrer Elemente zuordnet.

$\exists F: (F \mbox{ Funktion } \and \forall x: (x \not= \varnothing \rightarrow \exists y: (y \in x \and (x,y) \in F )))$

[Bearbeiten] Auflösung der Widersprüche der naiven Mengenlehre

Die Konstruktionen, die in der naiven Mengenlehre zu Widersprüchen führten, können in NBG nachvollzogen werden. Diese Konstruktionen führen jetzt nicht mehr zu Widersprüchen, sondern zu echten Klassen.

Die Russellsche Antinomie lässt sich etwa so auflösen. Bildet man nach dem Komprehensationsschema die Klasse

$R = \{ x \mid x \not\in x \}$

aller Mengen, welche sich nicht selbst enthalten, und stellt die Frage, ob $R \in R$ , so lautet die Antwort nein. $R$ ist eine echte Klasse, und kann sich daher nicht als Element enthalten. Dies stellt aber keinen Widerspruch dar, da in der Definition von $R$ nur Mengen und keine echten Klassen erfasst sind.