Newton-Fraktal

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Das Newton-Fraktal ist eine Grenzmenge in der komplexen Ebene, die das Newton-Verfahren für ein fixiertes Polynom $p(Z)\in\mathbb{C}[Z]$ charakterisiert. Es zerlegt die komplexe Ebene in Teilgebiete $G k$ , jedes Teilgebiet ist einer Nullstelle $\zeta_k,\; k=1,..,\operatorname{deg}(p)$ , des Polynoms zugeordnet. Das Newton-Fraktal ist also ähnlich wie die Mandelbrot-Menge eine charakteristische Menge. Als solche ist es ein Objekt der Fraktalen Geometrie. Mit anderen Fraktalen gemein hat es, dass eine einfache Berechnungsvorschrift komplex aussehende Gebilde ergibt. Für die numerische Mathematik interessant ist es, weil es zeigt, dass das Newton-Verfahren außerhalb der Zonen quadratischer Konvergenz sehr sensibel auf die Wahl des Startpunktes reagieren kann.

Die Zuordnung eines komplexen Punktes zu einer der $\operatorname{deg}(p)$ Nullstellen erfolgt wie folgt: Der zu untersuchende Punkt wird als Startpunkt $z 0$ der Newton-Iteration $z_{n+1}:=z_n-\frac{p(z_n)}{p'(z_n)}$ eingesetzt. Konvergiert die Folge gegen die Nullstelle $ζ k$ , so ist $z 0$ ein Element des Gebiets $G k$ .

[Bearbeiten] Erzeugung von Bildern

Um praktisch Bilder zu erzeugen, wählt man zuerst eine vorbestimmte Anzahl $d$ an komplexen Punkten $ζ 1,...,ζ d$ aus und bestimmt die Koeffizienten $p 1,..., p d$ des Polynoms

$p(z)=z^d+p_1z^{d-1}+\dots+p_{d-1}z+p_d:=(z-\zeta_1)\cdot\ldots\cdot(z-\zeta_d)$ .

Dann bestimmt man für ein rechteckiges Gitter von Punkte in $\mathbb C$ (Maschendichte $Δ x$ und $Δ y$ )

$z_{mn}=z_{00}+m\cdot\Delta x+\mathbf{i}(n\cdot\Delta y),\;m=0,...,M-1,\, n=0,...,N-1$

mittels der Iterationsvorschrift den Index $k (m, n)$ der zugehörigen Nullstelle $ζ k (m, n)$ . Aus dieser Zuordnung erzeugt man ein Rasterbild der Größe $M\cdot N$ , in welchem jedem Punkt $(m, n)$ eine Farbe $f k (m, n)$ gegeben wird. Man kann den Farbwert zusätzlich oder alternativ von der Entfernung $D (m, n)$ von der Nullstelle abhängig machen, welche dadurch bestimmt ist, dass erstmalig $| z D (m, n) - ζ k (m, n) | < ε$ gilt (mit einem vorher fixierten kleinen $ε > 0$ ), also die Anzahl der Iterationen beschreibt, die benötigt werden, um die entsprechende Nullstelle zu finden.

[Bearbeiten] Beispielfraktale


mit den drei Einheitswurzel dritten Grades, $p (z) = z 3 - 1$ , und Färbung nach Iterationszahl $D$	mit den drei Einheitswurzel dritten Grades, $p (z) = z 3 - 1$ , und Färbung nach Nullstelle $ζ k$	mit 7 zufällig gewählten Nullstellen (weiße Punkte), der Bereich stellt $- 1 < Re z,Im z < 1$ dar

[Bearbeiten] Weblinks

Commons: Newton-Fraktal – Bilder, Videos und/oder Audiodateien

Siehe auch: Curtis McMullen

J. H. Hubbard, D. Schleicher, S. Sutherland: How to Find All Roots of Complex Polynomials by Newton's Method Preprint (2000), Inventiones Mathematicae vol. 146 (2001) – mit Diskussion der Struktur von Newton-Fraktalen

Von „http://de.wikipedia.org../../../n/e/w/Newton-Fraktal_e0f9.html“

Kategorien: Numerische Mathematik | Computerkunst | Fraktale Geometrie