Normale Matrix
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine normale Matrix ist in der linearen Algebra eine Matrix 
mit der Eigenschaft
,
also eine Matrix, die mit ihrer konjugiert-transponierten Matrix kommutiert.
Für eine reelle Matrix 
gilt analog
.
[Bearbeiten] Normale Matrizen und Eigenwerte
Der Spektralsatz besagt, dass eine Matrix A genau dann normal ist, wenn es eine unitäre Matrix U gibt, so dass A = UDUH, wobei D eine Diagonalmatrix ist. Die Diagonalelemente von D sind genau die Eigenwerte von A.
Normale Matrizen haben also die Eigenschaft, dass sie diagonalisierbar sind. Es existiert also eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von A. Viele Eigenschaften von normalen Matrizen als Abbildung lassen sich anhand ihrer Eigenwerte sehr gut untersuchen. Umgekehrt sind auch Matrizen, die durch eine unitäre Transformation diagonalisiert werden können, stets normal. Hierbei ist die Forderung der unitären Diagonalisierbarkeit essentiell. Ein Beispiel für eine diagonalisierbare, nicht normale Matrix ist:
