Spektralsatz

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Der Spektralsatz ist ein mathematischer Satz aus der Linearen Algebra. Er macht eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit bestimmter Klassen von Matrizen. Der Name leitet sich vom „Spektrum“ der Eigenwerte her.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine Form
2 Spezialfälle
3 Funktionalanalysis: Spektralsatz für normale Operatoren
4 Literatur
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Allgemeine Form

Eine allgemeine Formulierung des Spektralsatzes lautet: Für einen Endomorphismus auf einem endlich-dimensionalen unitären $\mathbb{K}$ -Vektorraum ( $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ) exisitiert genau dann eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren, wenn er normal ist und alle Eigenwerte zu $\mathbb{K}$ gehören. In Matrixsprechweise bedeutet dies, dass eine Matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn sie normal ist und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ hat.

Eine weitere gebräuchliche Formulierung ist, dass eine Matrix $A$ genau dann normal ist, wenn sie unitär diagonalisierbar ist, also eine unitäre Matrix $U$ (gleicher Dimension) existiert, so dass $U * A U$ eine Diagionalmatrix mit den Eigenwerten von $A$ auf der Hauptdiagonalen ist.

[Bearbeiten] Spezialfälle

Für $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ist die Bedingung, dass alle Eigenwerte in $\mathbb{K}$ liegen, stets erfüllt ( $\mathbb{C}$ ist algebraisch abgeschlossen), also sind hier alle normalen Matrizen diagonalisierbar. Für $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ gilt dies nicht.

Ein selbstadjungierter Endomorphismus bzw. eine hermitesche Matrix hat nur reelle Eigenwerte. Der Spektralsatz besagt also, dass alle hermiteschen Matrizen diagonalisierbar sind und ein Endomorphismus genau dann selbstadjungiert ist, wenn es eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren gibt und alle Eigenwerte reell sind.

[Bearbeiten] Funktionalanalysis: Spektralsatz für normale Operatoren

Ist $A$ ein dicht definierter normaler Operator auf einem komplexen Hilbertraum $H$ , so existiert ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß $E$ auf den Borel-Mengen von $\mathbb{C}$ , so dass folgendes gilt ( $σ(A)$ sei das Spektrum von $A$ ):

$A = \int_{z \in \mathbb{C}} z \,\mathrm{d}E(z)$
Für eine Menge $M \subseteq \mathbb{C}$ mit $M \cap \sigma(A) = \emptyset$ gilt $E (M) = 0$ .
Für eine offene Menge $M \subseteq \mathbb{C}$ mit $M \cap \sigma(A) \neq \emptyset$ gilt $E(M) \neq 0$ .

Ein selbstadjungierter Operator ist normal mit reellem Spektrum; man kann das obige Integral also auf reelle Zahlen beschränken.

Eine äquivalente Formulierung lautet, dass $A$ unitär äquivalent zu einem Multiplikationsoperator über einem Raum $L 2 (Ω)$ (für einen Maßraum $Ω$ ) mit einer komplexwertigen messbaren Funktion $f:\Omega\to \mathbb{C}$ ist; ist $A$ selbstadjungiert, so ist $f$ reellwertig.