Primzahllücke

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Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen. Die kleinste Primzahllücke ist 3 - 2 = 1. Alle anderen Primzahllücken sind gerade, da 2 die einzige gerade Primzahl ist und somit die Differenz aus zwei ungeraden Zahlen gebildet wird. Zum Beispiel: 13 minus 11 oder 19 minus 17.

Bemerkung: Einige Autoren bezeichnen mit Primzahllücke abweichend hiervon die Anzahl zusammengesetzter Zahlen zwischen zwei Primzahlen, d.i. eins weniger als nach der hier verwendeten Definition.

Inhaltsverzeichnis

1 Auftreten von Primzahllücken
2 Konstruktion beliebig großer Primzahllücken
- 2.1 Beispiel für n=6
- 2.2 Wachstum der Funktionen
3 Das erste Auftreten einer Lücke einer bestimmten Größe
4 Weblinks

[Bearbeiten] Auftreten von Primzahllücken

Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, ist offensichtlich, dass es sie nur einmal gibt. (2 ist die einzige gerade Primzahl).
Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik.
Abgesehen von 1 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade. Bei Primzahllücken gerader Länge müssen beide begrenzenden Zahlen ungerade sein.

[Bearbeiten] Konstruktion beliebig großer Primzahllücken

Zu einer beliebigen natürlichen Zahl $n$ ist es sehr leicht, die Existenz einer Primzahllücke mindestens der Länge $n$ nachzuweisen. Sei nämlich $N$ eine natürliche Zahl, die zu keiner der Zahlen $2, 3, \ldots, n$ teilerfremd ist. Dann sind auch die Zahlen $N+2, N+3, \ldots, N+n$ nicht teilerfremd zu $N$ und folglich keine Primzahlen. Die größte Primzahl vor dieser Folge ist also $\le N+1$ , die kleinste danach $\ge N+n+1$ , so dass die Länge dieser Primzahllücke mindestens $n$ ist.

Man hat hierbei verschiedene Möglichkeiten, ein $N$ mit der geforderten Eigenschaft zu bilden. Beweistechnisch am einfachsten wählt man die Fakultät, also $N = n!$ , in welchem Falle dann die betrachteten $N + k$ sogar jeweils durch $k$ teilbar sind. Ebenso gut kann man das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen von 2 bis $n$ wählen, $N=\operatorname{kgV}(2,\ldots,n)$ .

Den kleinstmöglichen Kandidaten für $N$ findet man durch die Primfakultät, $N=n\#$ . Ist $p$ die kleinste Primzahl größer als $n$ , so gilt $n\# = (p-1)\#$ , d.h. man hat sogar automatisch eine Lücke der Länge $p - 1$ gefunden.

Obwohl im letzten Fall $N$ so klein wie möglich gewählt wurde, ist dennoch nicht garantiert, dass die gefundenen Lücken jeweils die erste Lücke der geforderten Länge sind. Insofern leisten alle diese Verfahren zwar gleichwertig den Nachweis, dass beliebig große Lücken existieren, und sind bei der Suche nach ersten Vorkommen großer Lücken nur bedingt von Nutzen.

[Bearbeiten] Beispiel für n=6

Welche Lücken liefern die genannten Verfahren jeweils im Falle $n = 6$ ? Zum Vergleich: Die erste Lücke der Länge 6 tritt auf zwischen 23 und 29.

[Bearbeiten] Fakultät

Es gilt 6!=720.

Da 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720 + 2 = 722.

Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720 + 3 = 723.

Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724.

Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725.

Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726.

Man hat also eine Primzahllücke mindestens der Länge 6 zwischen den Primzahlkandidaten 721 und 727 gefunden. Da 721 durch 7 teilbar ist, ist die Lücke sogar noch größer. In der Tat wird sie eingerahmt von den Primzahlen 719 und 727 und hat folglich die Länge 8.

[Bearbeiten] kgV

Es gilt kgV(1,..,6) = 60.

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62.

Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63.

Da 60 durch 4 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64.

Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65.

Da 60 durch 6 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66.

Diesmal haben wir also eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 61 und 67 gefunden. Beides sind "zufällig" Primzahlen, d.h. die Länge der Lücke ist genau 6.

[Bearbeiten] Primfakultät

Es ist $6\# = 2 \cdot 3 \cdot5 = 30$ .

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32.

Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33.

Da 30 und 4 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 4 = 34.

Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35.

Da 30 und 6 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 6 = 36.

Wiederum hat die gefundene Lücke genau die Länge 6, da 31 und 37 Primzahlen sind.

[Bearbeiten] Wachstum der Funktionen

Schon das ausgeführte Beispiel $n = 6$ zeigt, dass die Fakultät die bei weitem am raschesten wachsende unter den betrachteten Funktionen ist. Schon für $n = 10$ ergibt sich noch deutlicher $n! = 3628800$ , $\operatorname{kgV}(2,\ldots,10)=2520$ und $n\#=210$ . Dagegen tritt bereits zwischen 113 und 127 eine Lücke der Länge 14 auf.