Primzahlzwilling
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Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist, also zum Beispiel: (3 und 5) oder (5 und 7) oder (11 und 13).
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[Bearbeiten] Geschichtliches
Der Begriff "Primzahlzwilling" wurde erstmals von Paul Stäckel benutzt.
[Bearbeiten] Definition
Primzahlzwillinge nennt man zwei Primzahlen p1 und p2, deren Differenz p2 − p1 = 2 ist. Die Primzahl p2 = p1 + 2 wird dabei auch als Primzahlzwilling zur Primzahl p1 bezeichnet.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Jede ganze Zahl lässt sich in der Form 6n-2, 6n-1, 6n, 6n+1, 6n+2 oder 6n+3 darstellen (mit einer ganzen Zahl n). Primzahlen (außer 2 und 3) haben aber nicht die Form 6n-2, 6n, 6n+2, 6n+3, da alle solchen Zahlen durch 2 oder durch 3 (oder sogar durch 6) teilbar sind.
Daher hat jede Primzahl (außer 2 und 3) die Form 6n-1 oder 6n+1. Wenn nun (p, p+2) Primzahlzwillinge sind, ist p auch nicht von der Form 6n+1. Also gilt: Wenn (p, q) Primzahlzwillinge sind, dann ist p von der Form 6n-1 und q von der Form 6n+1.
Daraus folgt auch, dass p*q+1 eine durch 36 teilbare Quadratzahl ist:
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Mit Ausnahme von n=1 ist die letzte Ziffer eines n eine 0, 2, 3, 5, 7 oder eine 8, da im anderen Fall eine der beiden Zahlen 6n-1 bzw. 6n+1 durch 5 teilbar und damit keine Primzahl wäre.
Mit einer ganzen Zahl n lässt sich jede ungerade Zahl in der Form 30n+1, 30n+3, 30n+5, 30n+7, ..., 30n+25, 30n+27, 30n+29 (bzw. letztere besser als 30n-1) darstellen. Primzahlen (außer 3 und 5) haben aber nie die Form 30n+3, 30n+5, 30n+9, 30n+15, 30n+21, 30n+25 und 30n+27, da alle solchen Zahlen durch 2, durch 3 oder durch 5 teilbar sind.
Daher hat jedes Primzahlzwillingspaar (außer (3,5) und (5,7)) genau eine der drei Formen
(30n-1, 30n+1), (30n+11, 30n+13), (30n+17, 30n+19)
(bzw. letzteres alternativ, da symmetrischer, als (30n-13, 30n-11)) (mit einer ganzen Zahl n).
[Bearbeiten] Sonstiges
Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (3; 5).
Das größte derzeit bekannte Paar von Primzahlzwillingen ist
,
das sind Zahlen mit 58.711 Ziffern. Das Zahlenpaar wurde auf twinprimesearch.org mit Unterstützung des DC-Projekts primegrid gefunden. Der bisherige Rekord aus dem Jahr 2006 wurde damit um gut 7000 Ziffern übertroffen.
Zwei Primzahlzwillinge mit dem Abstand von vier, also Folgen der Form 
, nennt man Primzahlvierlinge.
[Bearbeiten] Offene Fragestellung
Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Zwar veröffentlichten die Mathematiker Dan Goldston und Cen Yildirim 2003, dass es in der unendlichen Folge der Primzahlen immer wieder kleine Abstände zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen gibt; leider lag jedoch ein Fehler in dem 25-seitigen Beweis vor. Im Mai 2005 konnten Dan Goldston und Cen Yildirim et al. eine Korrektur vorlegen. Diese wurde nun von den damaligen Fehlerfindern überprüft und als korrekt gewertet. Der neue, nun saubere, Beweis zeigt zudem eine neue Methode auf, die es ermöglichen sollte, den endgültigen Beweis zur Anzahl der Primzahlzwillinge abzuschließen und gilt daher als "großer Durchbruch".
Die Summe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent, jedoch hat Viggo Brun im Jahr 1919 bewiesen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Aus dieser Tatsache kann man nicht schließen, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Der Grenzwert der Summe wird Brunsche Konstante genannt und beträgt nach der neuesten Schätzung von 2002 etwa 1,902160583104.
