Definitheit

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Dieser Artikel erläutert den mathematischen Begriff; zur Definitheit in der Linguistik, siehe Definitheit (Linguistik).

Definitheit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er beschreibt, welche Vorzeichen reelle quadratische Formen annehmen können, die durch Matrizen oder allgemeiner durch Bilinearformen erzeugt werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen
2 Definitheit von Matrizen
3 Bedeutung
4 Quellen

[Bearbeiten] Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen

Es sei $V$ ein Vektorraum über den reellen (oder komplexen) Zahlen.

Eine symmetrische Bilinearform $\langle{\cdot}, {\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R$ (bzw. eine hermitesche Sesquilinearform $V\times V\to \mathbb{C}$ ) heißt

positiv definit,	falls $\langle v,v\rangle>0$
positiv semidefinit,	falls $\langle v,v\rangle\geq0$
negativ definit,	falls $\langle v,v\rangle<0$
negativ semidefinit,	falls $\langle v,v\rangle\leq0$

jeweils für alle $v\in V$ , $v\not=0$ , gilt. Trifft keine dieser Bedingungen zu, heißt die Form indefinit. In diesem Fall nimmt $\langle v,v\rangle$ sowohl positive als auch negative Werte an.

Beispielsweise ist das Standard-Skalarprodukt auf dem $\mathbb R^n$ (bzw. $\mathbb C^n$ ) positiv definit.

Siehe auch: Skalarprodukt

[Bearbeiten] Definitheit von Matrizen

Jede quadratische Matrix beschreibt eine Bilinearform auf $\mathbb R^n$ oder eine Sesquilinearform $\mathbb C^n$ . Man nennt die quadratische Matrix deshalb positiv definit, wenn diese Eigenschaft auf die durch die Matrix definierte Bilinearform oder Sesquilinearform zutrifft. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass für alle von Null verschiedenen Vektoren $x$ die folgende Ungleichung erfüllt ist:

x T A x > 0

Entsprechend definiert man auch die Eigenschaften „positiv semidefinit“, „negativ (semi-)definit“ und „indefinit“.

Positiv definite Matrizen entstehen beispielsweise bei der Beschreibung von Systemen, die auf dem Energieerhaltungssatz basieren. ^[1]

[Bearbeiten] Definitheitskriterium für allgemeine Matrizen

Eine allgemeine quadratische Matrix $A$ ist positiv definit, wenn ihr hermitescher (bzw. symmetrischer) Teil

$A_H = \frac{1}{2} (A + A^*)$

positiv definit ist. Dabei bezeichnet $A *$ die adjungierte Matrix.

[Bearbeiten] Definitheitskriterium: Eigenwerte

Eine quadratische symmetrische bzw. hermitesche Matrix ist

positiv definit,	falls alle Eigenwerte größer als Null sind;
positiv semidefinit,	falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind;
negativ definit,	falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind;
negativ semidefinit,	falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
indefinit,	falls positive und negative Eigenwerte existieren.

[Bearbeiten] Definitheitskriterium: Hauptminoren

Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren von $A$ positiv sind. Entsprechend ist $A$ negativ definit, falls alle Hauptminoren von $- A$ positiv sind. $A$ ist also genau dann negativ definit, falls die Hauptminoren alternieren, angefangen mit $d e t (A 1) = a 1,1 < 0$ . Bemerkung: Für Semidefinitheit gibt es kein Hauptminorenkriterium.

Dieses Kriterium wird auch oft Sylvester-Kriterium genannt. Vereinzelt wird auch die Bezeichnung „Hurwitz-Kriterium“ verwendet, obwohl sich dieses ursprünglich nur auf Hurwitz-Matrizen bezog.

[Bearbeiten] Definitheitskriterium: Gaußsches Eliminationsverfahren

Eine quadratische Matrix $A=(a_{i,k})_{i,k=1}^{n}$ ist genau dann positiv definit, wenn der Gaußsche Eliminationsprozess bei Diagonalstrategie mit n positiven Pivotelementen durchgeführt werden kann. Diese Bedingung eignet sich vor allem für Fälle, in denen sowieso das Gaußsche Eliminationsverfahren angewandt werden muss.

[Bearbeiten] Definitheitskriterium: Cholesky-Zerlegung

Eine symmetrische $n \times n$ -Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung gibt mit:

$A=G G^{T} \,$ ,

wobei $G$ folgende Form hat:

$G= \begin{pmatrix} g_{11} & 0 & 0 & .. & 0\\ g_{21} & g_{22} & 0 & .. &0\\ .. & .. & .. & .. & ..\\ g_{n1} & g_{n2} & g_{n3}&..& g_{nn} \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Bedeutung

Die Einschränkung einer positiv definiten Bilinear- bzw. Sesquilinearform auf einen Unterraum ist wieder positiv definit, insbesondere also nicht ausgeartet. Diese Tatsache ermöglicht die Zerlegung eines Raumes in einen Unterraum und dessen orthogonales Komplement.
Definitheit spielt bei der Untersuchung von kritischen Stellen einer Funktion $f\colon\R^n\to\R$ , also der Extremwertberechnung, eine entscheidende Rolle.