Symmetrische Matrix
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Die symmetrische Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich dabei um eine Matrix, die bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht. Für die Koeffizienten der Matrix gilt also
- aij = aji
Eine dazu gleichwertige Aussage ist, dass die Matrix gleich ihrer Transponierten ist:
- A = AT
Beispielsweise sind die folgenden Matrizen symmetrisch:
Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten im Fall komplexer Koeffizienten nicht für symmetrische, sondern für hermitesche Matrizen.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Eine reelle symmetrische Matrix
- ist eine quadratische Matrix
- ist diagonalisierbar
- hat nur reelle Eigenwerte
- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
