Satz von Pick

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Der Satz von Pick, benannt nach dem österreichischen Mathematiker Georg Alexander Pick, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von Gitterpolygonen. Dies sind Vielecke, deren sämtliche Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. (Man denke sich ein Vieleck, welches auf Rechenpapier gemalt wird, mit den Eckpunkten nur in den Schnittpunkten des Gitters)

Der Satz besagt:

Sei A der Flächeninhalt des Polygons, I die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren des Polygons und R die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Polygons, dann gilt:

A = I + R / 2 - 1

In dem nebenstehenden Beispiel ist $R = 12$ und $I = 40$ . Die Fläche dieses Polygons beträgt somit $40 + 6 - 1 = 45$ Gitterquadrateinheiten.

Der Satz von Pick kann dazu benutzt werden, um die eulersche Polyederformel zu beweisen.

[Bearbeiten] Beweis

Idee:

Das Theorem ist additiv. Wenn man zwei Polygone mit ganzzahligen Ecken, die sich in einer gemeinsame Strecke schneiden, zu einem Polygon mit ganzzahligen Eckpunkten verschmelzt, dann addieren sich die realen Flächen und auch die Flächen nach der Formel in dem Satz. Denn die Randpunkte im Innern der Strecke werden zu inneren Punkten, und die Endpunkte der Strecke werden zu zwei Randpunkten. Da man jedes Polygon in Dreiecke zerlegen kann, braucht der Satz also nur für Dreiecke bewiesen zu werden.
Für einzelne Dreiecke kann man den Satz mit Ergänzung zu einem Quadrat beweisen. Dabei wird das Dreieck zu einem rechtwinkligen, achsenparallelen Quadrat mit ganzzahligen Eckpunktendurch rechtwinklige Dreiecke ergänzt. Das geht immer. Für solche Quadrate prüft man den Satz direkt nach. Nun folgt die Behauptung aus der oben besprochenen Additivität.

Der letzte Teil ist eigentlich recht raffiniert. Man versuche einmal direkt zu beweisen, dass ein Dreieck in der Ebene mit ganzzahligen Eckpunkten, das außer diesen Eckpunkten keine ganzzahligen Punkte enthält, die Fläche 1/2 hat. Die Umkehrung ist übrigens leichter.

Den letzten Beweisschritt kann man auch anders machen. Wir ergänzen ein Dreieck zu einem Parallelogram. Dann ist recht klar, dass man die Ebene mit Kopien dieses Parallelogramms pflastern kann. In einem großen Parallelogramm mit Fläche A, das aus solchen Parallelogrammen zusammengesetzt ist, sind aber bis auf einen abschätzbaren Fehler A ganzzahlige Punkte enthalten. Auf jedes Parallelogramm fallen dann aber im Durchschnitt so viele ganzzahligen Punkte wie sein Fläche ausmacht. Lässt man A gegen Unendlich gehen und beachtet, dass alle Parallelogramme die gleiche Anzahl von Eckpunkten enthalten (wobei man Randpunkte nur halb und die vier Eckpunkte nur zu einem Viertel zählt), dann folgt die Behauptung.

Mit Hilfe dieser Pflasterungsmethode kann man dann wieder zeigen, dass ein Simplex (das ist die konvexe Hülle von vier Punkten) im Raum, der außer den Eckpunkten keine ganzzahligen Punkte hat, die Fläche 1/6 hat. Eine weitere Verallgemeinerung des Pickschen Satzes in dieser einfachen Form scheitert aber, da die Berührfläche von zwei Polygonen beliebig viele Randpunkte haben kann, die zu Randpunkten der Vereinigung werden.