Stetig behebbare Definitionslücke

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Die stetig behebbare Definitionslücke tritt unter anderem bei Funktionen der Mathematik auf, die aus der Division einer Funktion durch eine zweite entstehen.

Formal geschrieben sei

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ .

Prinzipiell können sowohl $u (x)$ als auch $v (x)$ den Wert Null annehmen. Man hat dann folgende drei Situationen:

eine Nullstelle, wenn $u (x) = 0$ und $v(x) \ne 0$ ;
eine Polstelle oder auch Unendlichkeitsstelle, wenn $u(x) \ne 0$ und $v (x) = 0$ ;
eine Lücke, auch als unbestimmter Ausdruck bezeichnet, wenn $u (x) = v (x) = 0$ .

Eine Definitionslücke kann, je nach dem Verhalten der Zähler- und Nennerfunktion, eine Polstelle oder aber eine stetig ergänzbare Lücke sein (Polstellen können hingegen nicht stetig ergänzt werden).

Anmerkung: Die Ausdrücke stetig behebbar, stetig ergänzbar und stetig fortsetzbar werden gleichbedeutend verwendet. Auch der Ausdruck hebbare Definitionslücke ist geläufig.

Zu beachten ist, dass $f$ an den Stellen, bei denen der Nenner gleich 0 ist, nicht definiert ist, also weder unstetig noch stetig ist! So ist z.B. die Funktion $f (x) = 1 / x$ in ihren gesamten Definitionsbereich $\mathrm{D}= \mathbb{R}\setminus \{0\}$ stetig, hat aber an der Stelle 0 eine Definitionslücke (Polstelle).

Inhaltsverzeichnis

1 Definition der stetigen Fortsetzbarkeit von Funktionen
2 Definition der stetigen Fortsetzung der Funktion f
- 2.1 Beispiel
3 Spezialfall rationaler Funktionen
- 3.1 Beispiel
4 Differenzierbare Funktionen (Regel von l'Hospital)
- 4.1 Beispiel
5 Allgemeine Funktionen

[Bearbeiten] Definition der stetigen Fortsetzbarkeit von Funktionen

Gegeben sei eine Funktion $f: \mathrm{D} \to \mathbb{R}$ und $x_o \notin \mathrm{D}$ . $f$ ist in $x o$ genau dann stetig fortsetzbar, wenn der Grenzwert

$\lim _{x \to {x_o}} f(x) \, \isin \, \mathbb{R}$ ist.

(Anmerkung: Die Elemente $-\infty$ und $\infty$ sind NICHT in der Menge $\mathbb{R}$ enthalten!)

[Bearbeiten] Definition der stetigen Fortsetzung der Funktion f

Ist $f$ in $x o$ stetig fortsetzbar, dann heißt die (aufgeteilte) Funktion

$\tilde{f} : \mathrm{D} \cup \{x_o\} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \begin{cases} f(x)\, & , x \isin \mathrm{D} \\ \lim_{x \to x_o} f(x) &, x=x_o \end{cases}$

stetige Fortsetzung von $f$ , beziehungsweise stetige Fortsetzung von $f$ auf $\mathrm{D} \cup\{x_o\}$ .

[Bearbeiten] Beispiel

Gegeben sei

$f: \mathbb{R}_{\geq 0} \setminus \{1\} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \frac{\sqrt{x}-1} {x-1}$ .

(das ist gleichbedeutend mit $y=\frac{\sqrt{x}-1} {x-1}$ , wobei der Definitionsbereich auf alle positiven reellen Zahlen mit 0 aber ohne 1 beschränkt wurde)

Die Funktion $f$ ist in $x o = 1$ stetig fortsetzbar:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1} {x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(\sqrt{x}+1)(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac {1}{\sqrt{x}+1}=1/2$

$\tilde{f}:\mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \begin{cases} \frac {\sqrt{x}-1}{x-1} & ,x \neq 1 \\ 1/2 &, x=1 \end{cases}$

[Bearbeiten] Spezialfall rationaler Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen, deren Nenner und Zähler an der selben Stelle Null werden, können nach dem folgenden Verfahren stetig ergänzt werden.

Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} ,$

wobei $u (x)$ und $v (x)$ Polynomfunktionen sind.

Da $u (x)$ und $v (x)$ Polynome sind, ist ihr Verhalten an ihren Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt: die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also $u (x)$ und $v (x)$ an der Stelle $x o$ eine Nullstelle haben, so ist immer

$u(x) = ( x - x_o )^{N_u} \; s(x)$

und

$v(x) = ( x - x_o )^{N_v} \; t(x)$

wobei

$s(x_o) \ne 0 \and t(x_o) \ne 0$ .

Die Terme $N u$ und $N v$ bezeichnet man auch als die Ordnung der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen kürzen.

Wenn $N u > N v > 0$ , dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist.
Wenn $N u = N v > 0$ , dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch $s (x o) / t (x o)$ gegeben ist.
Wenn $N u < N v$ , dann liegt eine Polstelle vor.

[Bearbeiten] Beispiel

Die Funktion

$f(x) = \frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3+x^2-x-1} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{x+2}{x-1}$

hat für x = -1 eine Lücke, die sich durch Kürzen mit dem Wert -1/2 beheben lässt.

[Bearbeiten] Differenzierbare Funktionen (Regel von l'Hospital)

Wenn sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion an der gemeinsamen Nullstelle differenzierbar sind, gilt die folgende Regel von L'Hospital:

$\lim_{x\to x_o} \frac{u(x)}{v(x)} = \left. \frac{u'(x)}{v'(x)} \right|_{x=x_o}$

[Bearbeiten] Beispiel

Die Funktion

$f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$

ist für $x$ = 0 nicht definiert. Anwendung der l'Hospital-Formel (Differenzierung des Sinus ergibt den Kosinus) ergibt

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \lim_{x \to 0} \cos(x) = \cos(0) = 1$ .

Die Lücke kann also durch den Wert 1 behoben werden.

[Bearbeiten] Allgemeine Funktionen

Aussagen zu allgemeinen Funktionen sind nicht möglich. Unstetige Funktionen können ein beliebiges Verhalten zeigen, und sind individuell zu untersuchen.

Es kann beispielsweise vorkommen, dass eine Definitionslücke zwei unterschiedliche (einen linksseitigen und einen rechtsseitigen) Grenzwerte besitzt. In diesem Fall hat die Funktion eine Sprungstelle, und die Definitionslücke ist nicht stetig behebbar, obwohl keine Polstelle vorliegt.

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Kategorie: Analysis