Fundamentalsatz der Algebra

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Der (Gaußsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.

Das bedeutet anders ausgedrückt: Sucht man Nullstellen eines nicht konstanten Polynoms mit ganzen, reellen oder komplexen Koeffizienten, und dehnt man die Suche in den Bereich der komplexen Zahlen aus, so wird man immer fündig.

Inhaltsverzeichnis

1 Satz
2 Beispiel
3 Anmerkungen
4 Beweise
- 4.1 Beweis mit Methoden der Funktionentheorie
- 4.2 Beweis mit Methoden der komplexen Geometrie

[Bearbeiten] Satz

Sei

$P(z) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot z^k$

ein nicht konstantes Polynom vom Grad $n \in \mathbb N$ , $n\geq 1$ , mit komplexen Koeffizienten $a_k \in \mathbb C$ . Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle, d.h. es gibt eine Zahl $z \in \mathbb C$ , so dass $P (z) = 0$ gilt. Genauer gilt sogar, dass die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden, insgesamt gleich dem Grad des Polynoms ist.

[Bearbeiten] Beispiel

Die Polynomgleichung

P (x) = x 5 - 5 x 4 + 17 x 3 - 13 x 2 = 0

hat die Lösungen

$\mathbb{L}=\{0^{(2)},1,2-3i,2+3i\}$ ,

die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, was aus der zerlegten Form des Polynomes ersichtlich ist:

$P(x)=x\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x-2+3i)\cdot(x-2-3i)$

Man verwendet auch die Sprechweise „0 tritt mit Vielfachheit 2 auf“, alle anderen Nullstellen treten mit Vielfachheit 1 auf. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Nullstellen im Allgemeinen nicht (alle) reell sind, selbst wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat.

[Bearbeiten] Anmerkungen

Da man die zu den Nullstellen gehörenden Linearfaktoren abspalten kann, zerfällt somit jedes nicht konstante Polynom über $\mathbb{C}$ komplett in ein Produkt aus Linearfaktoren:

$P(z) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot z^k = a_n \cdot \prod_{i=1}^n (z-z_i)$ ,

wobei die $z i$ die Nullstellen des Polynoms sind.

Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten ist die konjugierte Zahl einer Nullstelle wieder eine Nullstelle. Das heißt, ist $λ = x + i y$ eine Nullstelle, so auch $\overline{\lambda} = x - iy$ .

Beweis: Mit $f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_k x^k$ und $f (λ) = 0$ ist $f(\overline{\lambda}) = \sum\limits_{k=0}^n a_k\overline{\lambda}^k = \overline{\sum\limits_{k=0}^n a_k\lambda^k} = \overline{f(\lambda)} = \overline{0} = 0$ .

Daraus folgt, dass nicht-reelle Nullstellen bei Polynomen mit reellen Koeffizienten immer paarweise auftreten, das heißt, die Anzahl der komplexen Nullstellen ist gerade. Daraus kann man auch folgern, dass jedes Polynom mit reellen Koeffizienten und ungeradem Grad eine reelle Nullstelle hat.

[Bearbeiten] Beweise

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Inzwischen kennt man mehrere sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra oder Topologie beinhalten. Trotz seines Namens kann der Satz nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden, da er eine Aussage über den Körper $\mathbb{C}$ macht - und dieser ist ein Konstrukt der Analysis. Am einfachsten kann der Fundamentalsatz der Algebra mit Methoden der Funktionentheorie bewiesen werden.

[Bearbeiten] Beweis mit Methoden der Funktionentheorie

Sei $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ ein Polynom positiven Grades. Wegen $\lim\limits_{|z|\to\infty}\left| f(z)\right| =\infty$ existiert ein $R > 0$ mit $\left| f(0) \right| \leq \left| f(z) \right|$ für alle $z\in\mathbb{C}\setminus U_R(0)$ . Weil $\left| f \right|$ stetig und $\overline{U_R(0)}$ kompakt ist, existiert nach dem Satz von Weierstrass eine Stelle $z_0\in\overline{U_R(0)}$ mit $C:=\left| f(z_0) \right| \leq \left| f(z) \right|$ für alle $z\in\overline{U_R(0)}$ . Wegen $C\leq\left| f(0)\right|$ ist $C\leq\left| f(z) \right|$ für alle $z\in\mathbb{C}$ . Wäre $C > 0$ , so wäre $z\mapsto\frac{1}{f(z)}$ holomorph auf $\mathbb{C}$ und durch $\frac{1}{C}$ beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant.

[Bearbeiten] Beweis mit Methoden der komplexen Geometrie

Sei $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ ein nicht-konstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Wir fassen es als Abbildung des komplex-projektiven Raums $\mathbb P^1_{\mathbb C} \to \mathbb P^1_{\mathbb C}$ auf, d.h. $z \in \mathbb C \mapsto f(z) \in \mathbb C$ , $\infty \mapsto \infty$ . Die so definierte Abbildung komplexer Mannigfaltigkeiten ist holomorph und damit offen (d.h. das Bild jeder offenen Teilmenge ist offen). Da $\mathbb P^1_{\mathbb C}$ kompakt und $f$ stetig ist, ist das Bild $f(\mathbb P^1_{\mathbb C})$ auch kompakt, insbesondere abgeschlossen in $\mathbb P^1_{\mathbb C}$ . Damit ist das Bild bereits ganz $\mathbb P^1_{\mathbb C}$ , denn $\mathbb P^1_{\mathbb C}$ ist zusammenhängend. Insbesondere gibt es ein $z \in \mathbb C$ , welches auf $0$ abgebildet wird, d.h. eine Nullstelle von f.