Theorema egregium

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Das Theorema egregium ist ein Satz aus der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er wurde von Carl Friedrich Gauß gefunden und besagt:

Die Gaußsche Krümmung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hängt nur von der Weg- und Winkelmessung in der Mannigfaltigkeit ab.

Dabei ist die Gaußsche Krümmung eine der wichtigsten Krümmungsgrößen in der Differentialgeometrie. Außerdem kann man sich fürs erste eine Mannigfaltigkeit als eine zwei-dimensionale stetig differenzierbare Fläche im drei-dimensionalen Raum vorstellen.

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichte
2 Einordnung in die moderne Differentialgeomentrie
3 Herleitung
4 Verallgemeinerungen und Bemerkungen
5 Literatur
6 Weblinks

[Bearbeiten] Geschichte

Während Gauß in den Jahren 1821 bis 1825 unter schweren körperlichen Strapazan das Königreich Hannover vermessen hatte, vermutete er, dass sich die Krümmung der Erdoberfläche allein durch die Längen- und Winkelmessung bestimmen lässt. Tatsächlich brauchte Gauß noch einige Zeit, um diese Aussage zu beweisen. Auch war sein Beweis alles andere als unkompliziert und einfach. Aus diesem Grunde benannte er das Theorema egregium mit diesem Namen. Es bedeutet zu deutsch: Das wundervolle Theorem.

[Bearbeiten] Einordnung in die moderne Differentialgeomentrie

Die Differentialgeometrie hat durch Gauß wesentliche Impulse erfahren. Das führte dazu, das später die von Gauß betrachtete Krümmung auch Gaußsche Krümmung genannt wurde. Außerdem kann man sich überlegen, dass die Längen- und Winkelmessung auf einer Fläche durch die Koeffizienten der ersten Fundamentalform eben dieser induziert wird. In der Sprache der Differentialgeometrie lautet die Aussage des Theorema egregium:

Die Gaußsche Krümmung hängt lediglich von den Koeffizienten der Matrix der ersten Fundamentalform und deren ersten und zweiten Ableitungen ab.

In diesem Sinne ist die Gaußsche Krümmung eine Größe der inneren Geometrie, also der Geometrie, welche nur von der ersten Fundamentalform induziert wird. Weiter Größen der inneren Geometrie sind die natürlich die Längenmessung einer Kurve der Fläche, der Flächeninhalt und auch die geodätische Krümmung einer Kurve.

[Bearbeiten] Herleitung

Gauß selbst hat diesen Satz, wie bereits erwähnt, erst nach einer langwierigen Rechnung ermitteln können. Später konnte man diese Rechnungen wesentlich vereinfachen. Beispielsweise gilt die Formel von Brioschi:

$K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left( \left|\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\ F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{pmatrix}\right| - \left|\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\ \frac{1}{2}E_v & E & F\\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{pmatrix}\right| \right)$

Dabei sind

E

F

und

G

die Koeffizienten der Matrix ersten Fundamentalform bezüglich einer Parametrisierung $(u,v) \mapsto \varphi(u,v)$ . Die Bezeichnungen

E u

F u v

usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern

u

und

v

, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Formel wird bewiesen durch Anwendung der Definition der Gaußschen Krümmung, der Multiplikationsformel für Determinanten und einer raffinierten Darstellung der höheren Ableitungen des Ortsvektors der Fläche durch Koeffizienten der ersten Fundamentalform.

Das Theorema egregium folgt daraus offenbar als Korollar.

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen und Bemerkungen

Es stellt sich die Frage, ob dieser Satz auch in höheren Raumdimensionen gilt. Dabei sollte man beachten, dass es in höheren Dimensionen mehrere Krümmungsgrößen gibt. Dies alles spielt sich im Kontext der Riccikrümmungen und -tensoren ab und ist etwas komplizierter. Allerdings kann die Frage nach einer Verallgemeinerung aber positiv beantwortet werden.

Wie eben angedeutet, können wir auch Mannigfaltigkeiten in höheren Dimensionen eine innere Krümmung zuordnen, den sogenannten Krümmungsskalar und es stellt sich die Frage, welchen Wert dieser für die Mannigfaltigkeit des Raum-Zeit-Kontinuums unseres Universums hat. Es steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung in der Physik diese Frage zu klären. Eine Möglichkeit ist es, Winkelsummen in Dreiecken, welche jeweils einen Stern an den Ecken haben, zu vermessen.

[Bearbeiten] Literatur

Wilhelm Blaschke, Kurt Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 1, Springer-Verlag, Berlin 1973, ISBN 0-387-05889-3.
Manfred P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg Verlagsgesellschaft, 1993, ISBN 3-528-27255-4.
Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie, Springer-Verlag, Berlin 1973, ISBN 3-540-06253-X.