Tiefpass

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Als Tiefpass bezeichnet man in der Elektronik Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz annähernd ungeschwächt passieren lassen, Anteile mit hohen Frequenzen dagegen abschwächen.

Tiefpassfunktionen kommen auch z.B. in der Mechanik (Schwingungsdämpfung), Akustik (die Schallausbreitung tiefer Frequenzen ist verlustärmer), Optik (Kantenfilter), Hydraulik oder der Lichtausbreitung in der Atmosphäre vor, werden dort jedoch nicht so genannt.

Tiefpässe können wie andere Filterfunktionen auch, digital nachgebildet werden und spielen auch in der Computergrafik (Anti-Aliasing) eine Rolle.

Tiefpass-Filter werden anwendungsbezogen auch als Höhensperre, Höhenfilter, Treble-Cut-Filter, High-Cut-Filter, oder Rauschfilter bezeichnet. Diese Begriffe sind in der Tontechnik gebräuchlich; sie weisen darauf hin, dass ein solches Filter, z.B in einem Equalizer, die „Höhen“ des Signals bzw. das Rauschen, welches vorwiegend hohe Freuenzen enthält, abschwächt. (siehe auch: Entzerrung (Tontechnik)).

Man unterscheidet aktive und passive Tiefpässe, letztere bestehen aus Widerstand (R) bzw. Induktivität (L) und Kondensator (C) und werden dementsprechend als RC- bzw. LC-Filter bezeichnet.

[Bearbeiten] Anwendung

RC-Tiefpässe werden häufig zur Klangbeeinflussung im Zusammenhang mit Audioverstärkern eingesetzt. Zur Einstellung der Durchlasskurve bzw. dem Frequenzgang kann der Widerstand veränderbar ausgeführt sein (es ist im Vergleich zum Kondensator einfacher, diesen zu ändern). Auch eine spannungsgesteuerte Beeinflussung, wie z.B. bei der Klangerzeugung in Synthesizern oder der Klangbeeinflussung mit Klangregelschaltkreisen ist möglich.

RC- un LC-Tiefpässe werden häufig vor Signaleingängen eingesetzt, um das Eintreten von Störungen zu verhindern.

LC-Tiefpässe finden sich an den Lastausgängen von Frequenzumrichtern, Klasse-D-Verstärkern, Schaltnetzteilen und in Netzfiltern.

Vor dem Basslautsprecher in Lautsprecherboxen befindet sich ein LC-Tiefpass.

Tiefpassfilter spielen bei der additiven Klangerzeugung im Elektrophon eine Rolle.

[Bearbeiten] Tiefpass 1. Ordnung

Amplitudenverlauf Tiefpass 1. Ordnung

Im einfachsten Fall besteht ein Tiefpass aus einer Widerstand-Kondensator-Kombination (RC-Glied). Ein solcher passiver Tiefpass 1. Ordnung sieht folgendermaßen aus:

Einfacher RC-Tiefpass (Tiefpass 1.Ordnung)

Von der Eingangsspannung $U_e\$ erscheint am Ausgang gemäß der Spannungsteilerformel nur der Anteil $U_a\$ :

$U_a = U_e \cdot \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R^2}} = U_e \cdot \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}$ ,

wobei $U_a\$ und $U_e\$ die Beträge der Ein- und Ausgangsspannung bezeichnen.

Unter der Grenzfrequenz f_c (cutoff frequency) versteht man diejenige Frequenz, bei der $U_{a} = U_{e}/\sqrt{2}\approx U_{e} \cdot 0{,}707$
(d. h. U_a gegenüber U_e um etwa 3 Dezibel abgeschwächt) ist. Die Grenzfrequenz berechnet sich zu $f_c=\frac{1}{2\,\pi\,R\cdot C}$

Da X_C mit steigender Frequenz kleiner wird,

$X_C = \frac{-1}{\omega\,C}$ mit $\omega = 2\,\pi\,f$ ,

geht das Teilungsverhältnis mit sinkender Frequenz gegen 1, für Gleichspannung (Frequenz f = 0) wird $U_a = U_e\$ .

In logarithmischer Darstellung nimmt die Dämpfung oberhalb der Grenzfrequenz um 6 dB/Oktave bzw. 20 dB/Dekade zu.

Aktiver Tiefpass

Mit Operationsverstärkern können aktive Tiefpässe realisiert werden. Diese haben den Vorteil, dass der Frequenzgang unabhängig von der am Ausgang angeschlossenen Last ist. Der Betrag der Ausgangsspannung dieses Tiefpasses ist

$U_a = -U_e \cdot \frac {R_2} {R_1} \cdot \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R_2^2}}\$ .

Die Grenzfrequenz ist hier die Frequenz, bei der die Verstärkung auf das $1/\sqrt{2}$ -fache der Gleichspannungsverstärkung ( $R 2 / R 1$ ) abgefallen ist.

[Bearbeiten] Herleitung der Formel

laut Spannungsteiler gilt: $U_a = U_e \cdot \frac{Z_c}{Z_c + R} \$ mit $Z_c \$ = Widerstandsoperator bzw. Impedanz des Kondensators

da $Z_c = \frac{1}{{j}{\omega}{C}}$ (siehe hier), folgt $\frac {U_a}{U_e} = \frac{\frac{1}{{j}{\omega}{C}}}{\frac{1}{{j}{\omega}{C}} + R}= \frac{1}{1 + {j}{\omega}{C}{R}}$

[Bearbeiten] komplexe Umformung

$z = x + jy = 1 + {j}{\omega}{C}{R} \Rightarrow z = re^{{j}{\varphi}} \Rightarrow {\varphi} = \textrm{arctan}\left(\frac yx\right) \Rightarrow r= \sqrt{x^2 + y^2}$

$z = \sqrt{1 + ({\omega}{C}{R})^2} \cdot {e^{{j} \cdot {\textrm{arctan}({\omega}{C}{R})}}}$

$\frac {U_a}{U_e} = \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} \cdot {e^{-{j} \cdot {\textrm{arctan}({\omega}{C}{R})}}}$

diese Gleichung stellt die normierte Spannungs-Ortskurve dar (Bildbereich)

[Bearbeiten] Rücktransformation

(nach den Transformationsregeln für harmonische Schwingungen)

$a = {\hat a} \sin({\omega}t + {\varphi})$ <---> $\underline {a} = {\hat a} \cdot {e^{{j} \cdot ({{\omega}{t} + {\varphi}})}}$

$\frac {U_a}{U_e} = \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}} \cdot \sin(- {arctan({\omega}{C}{R})})$ $(t = 0)$

${\hat a}$ = Amplitudengang $= \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}$ --> $H(\omega) = \frac {\hat U_a}{\hat U_e} = \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}$

${\varphi}$ = ${\varphi}(\omega)$ = Phasengang $\, = {arctan({-\omega}{C}{R})}$

[Bearbeiten] Gleichung zur Darstellung im Bode-Diagramm

(Amplitudenverlauf Tiefpass 1. Ordnung)

$H(dB) = 20 \lg \frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}$

[Bearbeiten] Umformung zur hier verwendeten Formel

(mit Blindwiderstand)

$\frac {1} {\sqrt{ 1 + (\omega CR)^2}}=\frac {1} {\sqrt{({\omega C})^2 ((\frac {1}{\omega C})^2 + R^2)}}=\frac {(\frac {1}{\omega C})} {\sqrt{ ((\frac {1}{\omega C})^2 + R^2)}}=\frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{X_C^2 + R^2}}$

[Bearbeiten] Tiefpass 2. Ordnung

Einen Tiefpass zweiter Ordnung erhält man, indem man R durch eine Reihenschaltung von R mit einer Induktivität L ersetzt, da diese ihrerseits eine - und zwar zum Kondensator gegenläufige - Frequenzabhängigkeit besitzt. Dabei wird R so groß gewählt, dass keine oder nur eine geringe Resonanzüberhöhung des Frequenzgangs entsteht.

Passiver Tiefpass 2. Ordnung

Die Übertragungsfunktion eines solchen Tiefpasses ist

$H(\omega)=\frac{j\, X_C}{R+j(X_L+X_C)}$

mit $X_L=\omega \, L, \quad X_C=\frac{-1}{\omega \, C}\, , \quad \omega = 2\,\pi\,f$ .

Der Betrag der Übertragungsfunktion ist

$\frac{U_a}{U_e} = \vert H(\omega) \vert = \frac{\vert X_C \vert}{\sqrt{R^2+(X_L+X_C)^2}}=\sqrt{\frac{1}{\omega^4 \, L^2 \, C^2 + \omega^2 \, R^2 \, C^2 - 2 \, \omega^2 \, L \, C + 1 }}$

Aktiver Tiefpass 2. Ordnung

Damit fällt die Ausgangsspannung U_a oberhalb von f_G schneller (mit 12 dB/Oktave bzw. 40 dB/Dekade) ab, da nun nicht nur |X_C| kleiner sondern zugleich |X_L| größer wird.

In dieser Variante werden große Induktivitäten gebraucht (bis zu mehreren Henry). Diese haben schlechte elektrische Eigenschaften und besitzen recht große Dimensionen. Deshalb werden Tiefpässe zweiter und höherer Ordnung heutzutage üblicherweise durch Operationsverstärker-Schaltungen realisiert. Diese Filter werden als aktive Tiefpässe (bzw. aktive Filter) bezeichnet.

[Bearbeiten] Tiefpass n-ter Ordnung

Durch das Hintereinanderschalten von mehreren Tiefpässen kann man dessen Ordnung erhöhen, beispielsweise bilden zwei hintereinandergeschaltete Tiefpässe 2. Ordnung einen Tiefpass 4. Ordnung. Die Dämpfung ändert sich hierbei oberhalb der Grenzfrequenz mit 4•20 dB/Dekade = 80 dB/Dekade, was einer Flankensteilheit von 24 dB/Oktave entspricht.

Zwei zusammengeschaltete Tiefpässe mit gleicher Grenzfrequenz ergeben aber keinen Tiefpass höherer Ordnung derselben Grenzfrequenz. Für die Dimensionierung eines Tiefpasses mit gewünschter Grenzfrequenz stehen spezielle Formeln und Tabellen zur Verfügung.

Zusätzlich tritt das Problem auf, dass ein Tiefpass der Kette vom Ausgangswiderstand des vorgeschaltenen und dem Eingangswiderstands des nachgeschalteten Tiefpasses beeinflusst wird. Diesem Effekt kann mit Impedanzwandlern entgegengewirkt werden.

Allgemein werden für ein Filter n-ter Ordnung n speichernde Elemente (also Kondensatoren oder Spulen) benötigt.

Die Dämpfung eines Tiefpasses n-ter Ordnung nimmt oberhalb der Grenzfrequenz mit n•20 dB/Dekade zu.

[Bearbeiten] Emphasis und Deemphasis

Bei der statischen Frequenzgangveränderung, der Emphasis und der Deemphasis wird anstatt der Grenzfrequenz üblicherweise die Zeitkonstante angegeben [1].

[Bearbeiten] Literatur

Ulrich Tietze, Christoph Schenk und Eberhard Gamm, Halbleiter-Schaltungstechnik. Springer-Verlag, 2002, 12. Auflage, ISBN 3-540-42849-6

[Bearbeiten] Siehe auch

Hochpass
Bandpass
SAW-Filter
Blindwiderstand von Kondensator und Spule
PT1-Glied

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../t/i/e/Tiefpass.html“

Kategorie: Filter (Elektrotechnik)