PT1-Glied

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PT₁-Glied im Strukturbild

Als PT₁-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung aufweist. Gebräuchliche Beispiele sind in der Elektrotechnik der Tiefpass und im Maschinenbau das Feder-Dämpfer-System.

Die zugehörige Funktionalbeziehung im Zeitbereich ist die Differentialgleichung

$T \cdot \dot{y}(t) + y(t) = K \cdot u(t)$ ,

so dass die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich die Form

$G(s) = \frac{K}{1 + T \cdot s}$

hat. Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor und T , T > 0, die Zeitkonstante.

Inhaltsverzeichnis

1 Bodediagramm
- 1.1 Amplitudengang
- 1.2 Phasengang
2 Sprungantwort
3 Ortskurve
4 Zeitdiskretes PT1-Glied
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Bodediagramm

Beim PT₁-Glied ist $G(j\omega) = \frac{K}{1 + j\omega T}$ . Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

$|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{1 + \omega^2 T^2}}$

$\varphi(\omega) = -\arctan (\omega T)$

[Bearbeiten] Amplitudengang

Bezeichnet $\omega_0 = \frac{1}{T}$ die Knick- bzw. Eckfrequenz, so lässt sich der Amplitudengang grob in zwei Bereiche einteilen:

$G(j\omega) = \begin{cases} K, & \mbox{wenn } \omega \ll \omega_0 \\ \frac{K}{j\frac{\omega}{\omega_0}}, & \mbox{wenn } \omega \gg \omega_0 \end{cases}$

bzw.

$|G|_{\mathrm{dB}} = \begin{cases} 20 \log K, & \mbox{wenn } \omega \ll \omega_0 \\ 20 \log K - 20 \log \frac{\omega}{\omega_0}, & \mbox{wenn } \omega \gg \omega_0 \end{cases}$

Für Frequenzen unterhalb der Eckfrequenz liegt die Betragskennlinie des PT₁-Gliedes parallel zur 0-dB-Linie im Abstand von K_dB und für große Frequenzen fällt sie mit 20 dB/Dekade. Bei der Knickfrequenz ω = ω₀ schneiden sich die beiden Asymptoten. Der tatsächliche Wert des Amplitudenganges weicht dort um −3 dB von der asymptotischen Näherung ab. Bei ω = 0,5 ω₀ bzw. ω = 2 ω₀ beträgt die Abweichung nur noch −1 dB.

Die Eckfrequenz berechnet sich aus der Polstelle der Übertragungsfunktion, also der Nullstelle des Nenners 1 + Ts. Die Nullstelle ist $- \frac{1}{T}$ und heißt Eigenwert, dessen Betrag die Eckfrequenz ω₀ beschreibt.

[Bearbeiten] Phasengang

Die Phasenverschiebung des PT₁-Gliedes beträgt bei kleinen Frequenzen 0°, bei großen Frequenzen −90° und bei der Knickfrequenz ω₀ −45°.

Für die asymptotische Näherung zeichnet man eine Gerade, die eine Dekade vor der Knickfrequenz bei 0° beginnt und eine Dekade nach der Knickfrequenz bei −90° endet.

Bodediagramm eines PT1-Gliedes (K = 10, T = 1)

Bodediagramm eines PT₁-Gliedes (K = 10, T = 1)

[Bearbeiten] Sprungantwort

Die Sprungantwort des PT₁-Gliedes wird beschrieben durch

$a(t) = K (1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}})$

und hat den Verlauf einer e-Funktion. Der Endwert nähert sich K an. Nach der Zeit t = T beträgt der Wert 0,63 K und nach t = 3 T bereits 0,95 K, es bleibt theoretisch aber immer eine minimale Regelabweichung erhalten. Die Tangente im Ursprung schneidet den Wert des Verstärkungsfaktors K nach der Zeit T. Der Betrag der Zeitkonstanten T bestimmt die Schnelligkeit des Gliedes.

Sprungantwort eines PT1-Gliedes (K = 2, T = 1)

Sprungantwort eines PT₁-Gliedes (K = 2, T = 1)

[Bearbeiten] Ortskurve

Die Ortskurve ( $0 \leq \omega \leq \infty$ ) des PT₁-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse durch den vierten Quadranten für $\omega \to \infty$ in den Punkt 0.

Ortskurve eines PT1-Gliedes (T = 1, K = 2)

Ortskurve eines PT₁-Gliedes (T = 1, K = 2)

[Bearbeiten] Zeitdiskretes PT1-Glied

Das Verhalten eines PT1-Gliedes lässt sich mit der folgenden Formel zeitdiskret berechnen. Sie ist Grundlage zur Nachbildung dieses Reglertypes in der digitalen Signalverarbeitung.

$y_{n+1} = \frac {K} {T^{*}} \cdot u_{e} + \left( 1 - \frac {1} {T^{*}} \right) \cdot y_n$