Unitäre Abbildung

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Eine unitäre Abbildung (auch unitäre Transformation) bezeichnet in der Mathematik eine bijektive lineare Abbildung, die längen- und winkelerhaltend ist. Beispiele hierfür sind Drehungen und Spiegelungen. Mathematisch bedeutet dies, dass eine unitäre Abbildung $U:V\to W$ von einem unitären Vektorraum $V$ auf einen anderen unitären Vektorraum $W$ die Norm erhält, dass also für alle $x\in V$ die Bedingung $\|Ux\|_W=\|x\|_V$ gilt. Sie ist daher eine spezielle Form einer isometrischen Abbildung. In endlichdimensionalen Vektorräumen ist die Normerhaltung äquivalent zur Invarianz des Skalarprodukts, d. h. $\langle Ux,Uy\rangle_W=\langle x,y\rangle$ für alle $x,y\in V$ . In unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es dagegen isometrische Abbildungen, die nicht unitär sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Endlichdimensionale Vektorräume
2 Unendlichdimensionale Vektorräume
3 Beispiele
- 3.1 Zahlenbeispiel für den endlichdimensionalen Fall

[Bearbeiten] Endlichdimensionale Vektorräume

Unitäre Abbildungen bezüglich des Standardskalarprodukts auf dem $\mathbb{C}^n$ werden durch unitäre Matrizen beschrieben. Unitarität ist dort als

$U^{-1} = \bar{U}^T$

definiert, wobei $\bar{U}^T$ die sogenannte adjungierte Matrix zu $U$ ist, die durch Transposition (Vertauschen von Zeilen und Spalten) sowie komplexe Konjugation der Einträge von $U$ entsteht.

Eine andere Charakterisierung ist die folgende: Eine Abbildung ist genau dann unitär, wenn sie

als Abbildung zwischen den zugrundeliegenden reellen Vektorräumen orthogonal ist (man beachte, dass die reelle Dimension der Vektorräume doppelt so groß ist wie ihre komplexe Dimension)
und mit der Multiplikation mit der imaginären Einheit $i$ kommutiert.

[Bearbeiten] Unendlichdimensionale Vektorräume

In unendlichdimensionalen Vektorräumen lassen sich lineare Abbildungen nicht durch Matrizen darstellen. Hier ist die Unitarität einer linearen Abbildung $φ$ durch die Bedingung

φ * = φ - 1

definiert, wobei $φ *$ die adjungierte Abbildung zu $φ$ ist.

[Bearbeiten] Beispiele

Auf dem Hilbertraum $L^2(\R)$ induzieren die Translationen

$T_a\colon\R\to\R,\quad x\mapsto x+a$

für beliebige $a\in\R$ unitäre Operatoren

$L^2(\R)\to L^2(\R),\quad f\mapsto f\circ T_a.$

Die im $L^{2}(\R)$ definierte Fourier-Transformation.
Ein wichtiges Beispiel für unitäre Transformationen sind die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik.

[Bearbeiten] Zahlenbeispiel für den endlichdimensionalen Fall

Einfache Beispiele für unitäre Abbildungen sind die lineare Abbildungen $A$ bzw. $B$

$\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2,$

die durch die Matrizen

$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ bzw. $B=\begin{pmatrix}\mathrm i&0\\0&\mathrm i\end{pmatrix}$

gegeben sind. Explizit sind sie gegeben durch

$A\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z_2\\-z_1\end{pmatrix}$ und $B\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm iz_1\\\mathrm iz_2\end{pmatrix}$ .