Adjungierte Matrix

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In der linearen Algebra ist die zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix $A$ adjungierte Matrix $A *$ eine Matrix, die eine bestimmte Vertauschungsbedingung für Skalarprodukte erfüllt.

Eine andere Schreibweise für die adjungierte Matrix ist $\operatorname{adj}(A)$ . Diese Notation ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die Adjunkte bzw. komplementäre Matrix verwendet wird.

[Bearbeiten] Definition

Sei $A$ eine $n\times n$ -Matrix über dem Körper $\Bbb K$ der reellen oder komplexen Zahlen, d.h. $\Bbb K=\R$ oder $\Bbb K=\Bbb C$ .

Die zu $A$ adjungierte Matrix $A *$ ist durch folgende Eigenschaft definiert:

$\langle Av, w\rangle = \langle v, A^*\,w\rangle$ für alle $v, w \in\Bbb K^n$ .

Dabei bezeichnet $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das kanonische Skalarprodukt des $\Bbb K^n$ .

[Bearbeiten] Berechnung und Rechenregeln

Man kann zeigen, dass die Adjungierte

im reellen Fall $\Bbb K=\R$ genau die transponierte Matrix $A T$ von $A$ ist;
im komplexen Fall $\Bbb K=\Bbb C$ genau die komplex konjugierte der Transponierten, also $\overline{A^T}$ ist.

Gilt $A * = A$ , so heißt $A$ selbstadjungiert. Im reellen Fall heißt die Matrix dann auch symmetrisch und im komplexen Fall auch hermitesch.

Im Folgenden seien $A$ und $B$ Matrizen und $r$ eine komplexe Zahl, dann gilt:

$\left(A + B\right)^* = A^* + B^*$

$(rA)^* = \overline{r}A^*$

$\left(AB\right)^* = B^*A^*$

$\left(A^*\right)^* = A$ für jede beliebige Matrix

A

$\left(A^{-1}\right)^*=\left(A^*\right)^{-1}$ , falls

A

invertierbar ist

$\det(A^*) = \overline{\det(A)}$

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

In der Funktionalanalysis wird die adjungierte Matrix zum adjungierten Operator verallgemeinert.

Für einen Endomorphismus $F: V \rightarrow V$ eines Hilbertraums $V$ wird ein adjungierter Endomorphismus $\operatorname{adj}(F): V \rightarrow V$ durch die Eigenschaft: