Wirkleistung

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Die Wirkleistung P ist die elektrische Leistung, die für die Umwandlung in andere Leistungen (z. B. mechanische, thermische oder chemische) verfügbar ist. Die Wirkleistung P wird in der Einheit Watt angegeben. Bei gleichbleibender Spannung und gleichbleibendem Strom ist die Wirkleistung das Produkt von Spannung U und Strom I:

$P=U \cdot I$

Bei veränderlichen Werten ist die Wirkleistung der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung p.

$P=\bar{p}=\overline{u\cdot i} =\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}u(t)\cdot i(t)\,\mathrm{d}t$

[Bearbeiten] Wirkleistung bei sinusförmigen Wechselstrom

zeitlicher Verlauf von Spannung, Strom und Leistung

Einen wichtigen Sonderfall bilden gleichfrequente Wechselgrößen mit sinusförmigen Zeitverläufen, wie sie Grundlage unserer Stromversorgungsnetze sind. Für die Augenblicksleistung p gilt hier ebenfalls, dass sie das Produkt aus den Augenblickswerten u und i von Spannung und Strom ist. Bei reiner Sinusform lässt sich der mathematische Effektivwert von Spannung U und Strom I verwenden, der auch von Messgeräten als solcher gemessen und angezeigt wird:

$P = U \cdot I$

Der sinusförmige Verlauf des Stromes tritt nur dann auf, wenn sich ausschließlich lineare Verbraucher wie ohmsche Widerstände im Netz befinden. Beim Auftreten kapazitiver oder Auftreten induktiver Verbraucher tritt zusätzlich eine Phasenverschiebung $\varphi$ zwischen dem Verlauf von Strom und Spannung auf. Mit den Scheitelwerten $\hat u$ und $\hat i$ von Spannung und Strom sowie der Kreisfrequenz $\omega = 2 \ \pi \ f$ wird hieraus

$p = u \ i = \hat u \ \hat i \ \sin \omega t \ \sin (\omega t + \varphi)$

Durch Anwenden der trigonometrischen Beziehung

$\sin (a) \sin (b) = \frac{1}{2} [\cos (a-b) - \cos (a+b)]$

folgt:

$p = {1 \over 2} \ \hat u \ \hat i \ [\cos \varphi - \cos \ (2 \omega t + \varphi)]$

und mit der Verwendung der Effektivwerte U und I von Spannung und Strom:

$p = U \ I \ \cos \varphi \ - \ U \ I \ \cos \ (2 \omega t + \varphi)$

Der Ausdruck $P=U \ I \ \cos\varphi$ stellt den zeitlichen Mittelwert dar, den man als Wirkleistung P bezeichnet. Die Wirkleistung P ist das Produkt aus Scheinleistung S und Leistungsfaktor cos phi, P = S * cos phi

[Bearbeiten] Wirkleistung als Realteil der komplexen Scheinleistung

Leistungszeigerdiagramm

In der Elektrotechnik ist es üblich, die Wechselstromrechnung (also das Rechnen mit sinusförmigen Wechselgrößen) mit Hilfe des Zeigerdiagramms geometrisch durchzuführen, da dies wesentlich einfacher ist als die analytische Berechnung im Zeitbereich. Zum Anschluss der Leistungsgrößen an die komplexe Wechselstromrechnung wurde die komplexe Scheinleistung S eingeführt, die Wirk- und Blindleistung in einer komplexwertigen Größe zusammenfasst.

$\underline S = P + jQ = {1 \over 2} \cdot \underline U \cdot \underline I^*$

Bei der Berechnung muss vom Strom die konjugiert komplexe Amplitude verwendet werden. Der Faktor 1/2 ist notwendig, um von den Amplituden auf die Effektivwerte zurück zu rechnen.

Die Scheinleistung S, also der Betrag der komplexen Scheinleistung S, ist die geometrische Summe aus Wirk- und Blindleistung. Die Wirkleistung P ist der Realteil S, die Blindleistung Q der Imaginärteil der komplexen Scheinleistung.

$S = \sqrt {P^2 + Q^2}$