Zermelo-Mengenlehre
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Die Zermelo-Mengenlehre ist die erste axiomatische Mengenlehre und stammt von Ernst Zermelo aus dem Jahr 1907. Sie wurde zur Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die heute als Basis der Mathematik dient.
Zermelo schuf seine neuartige Mengenlehre, nachdem Widersprüche und Paradoxien in der naiven Mengenlehre von Georg Cantor bekannt wurden, die durch den naiven Umgang mit der Existenz von Mengen bedingt sind. Vor allem die 1902 von Bertrand Russell publizierte Russellsche Antinomie machte eine neue Grundlegung der Mengenlehre nötig. Zermelo wählte im Gegensatz zur syntaktisch komplizierten Typentheorie Russells den eleganteren Weg des axiomatischen Aufbaus der Mengenlehre. Seine sieben Mengenaxiome, die vor allem die Existenz von Mengen sichern, erwiesen sich als tragfähig. Er formulierte sie noch verbal; heute werden sie dagegen meist in prädikatenlogischer Form präzisiert und bilden den Grundstock der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die zwei zusätzliche Axiome hat: 1921 fügte Abraham Fraenkel das Ersetzungsaxiom hinzu, und 1930 ergänzte Zermelo das Fundierungsaxiom, das ausschließt, dass es paradoxe Mengen gibt, die sich selbst als Elemente enthalten.
[Bearbeiten] Die Axiome
Die Axiome, mit der ursprünglichen Benennung und Numerierung von Zermelo, sind folgende:
- I Axiom der Bestimmtheit
- II Axiom der Elementarmengen
- III Axiom der Aussonderung
- IV Axiom der Potenzmenge
- V Axiom der Vereinigung
- VI Axiom der Auswahl
- VII Axiom der Unendlichkeit
[Bearbeiten] Literatur
- Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), S. 261-281
- Fraenkel, Abraham, Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, 1921, in: Mathematische Annalen 86 (1922), S. 230-237
- Zermelo, Ernst: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, in: Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 29-47
