Vikipedio:Projekto matematiko/Algebra K-teorio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Algebra K-teorio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, algebra K-teorio estas plibonigita parto de _homological_ algebro koncernis kun difinanta kaj aplikanta vico

K_n(R)

de _functors_ de (ringoj, ringas, sonoras) al komutaj grupoj, por n = 0,1,2, ... . Ĉi tie por tradiciaj kaŭzoj la (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) de K₀ kaj K₁ estas penso de en io malsama (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la pli alta algebra K-(grupoj, grupas) K_n por n ≥ 2. Fakte K₀ ĝeneraligas la konstruado de la ideala klasa grupo, uzantaj projekciaj moduloj; kaj K₁ kiel aplikis al komuta ringo estas la unua grupa konstruado, kiu estis ĝeneraligita al ĉiuj (ringoj, ringas, sonoras) por la (bezonas, bezonoj) de topologio (simpla homotopeca teorio) per rudimenta matrica teorio. Pro tio la unua du (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) grafita kiel relative alirebla; dum post (tiu, ke, kiu) la teorio iĝas sufiĉe _noticeably_ pli profunda, kaj certe sufiĉe peza al komputi ((eĉ, ebena, para) kiam R estas la ringo de (entjeroj, entjeras)).

Historie la (radikoj, radikas) de la teorio estis en topologia K-teorio (bazita sur vektora pakaĵa teorio); kaj ĝia motivado la konjekto de _Serre_ (tiu, ke, kiu) nun estas la _Quillen_-_Suslin_ teoremo. Aplikoj de K-(grupoj, grupas) estita fundamenti de 1960 _onwards_ en (kirurgio, ĥirurgio) teorio por (duktoj, duktas), en aparta; kaj multaj aliaj ligoj kun klasika algebra (problemoj, problemas) estita fundamenti. Iom poste branĉo de la teorio por operatoraj algebroj estis fruktodone ellaborita. Ĝi ankaŭ iĝis klara (tiu, ke, kiu) K-teorio povis roli en algebra cikla teorio en algebra geometrio (_Gersten_'s konjekto): ĉi tie la pli alta K-(grupoj, grupas) iĝi koneksa kun la pli alta _codimension_ fenomenoj, kiu estas akurate tiuj (tiu, ke, kiu) estas (pli peza, pli peza) al atingo. La problemo estis (tiu, ke, kiu) la (difinoj, difinas) estita (malhavanta, mankanta) (aŭ, ankaŭ multaj kaj ne evidente konsekvenca). Difino de K₂ por kampoj per Johano _Milnor_, ekzemple, donis alloga teorio (tiu, ke, kiu) estis ankaŭ (limigita, limigis) en (regiono, vidotereno), konstruis kiel kvociento de la multiplika grupo de la kampo tensoris kun sin, kun iuj eksplicitaj rilatoj (trudis, altrudita); kaj proksime koneksa kun centraj vastigaĵoj.

Eble la fundamenta (malfacilaĵoj, malfacilaĵas) estita malkomponita (lasanta profunda kaj malfacila teorio), per difino de _Daniel_ _Quillen_. _Quillen_ difinita

K_n(R) = π_n(_BGL_(R)⁺),

tre kompresita peco de abstrakta matematiko. Ĉi tie π_k estas homotopeca grupo, Gl(R) estas la direkta limigo de la ĝeneralaj linearaj grupoj super R por la amplekso de la matrico strebanta al malfinio, B estas la klasiganta spaca konstruado de homotopeca teorio, kaj la ⁺ estas _Quillen_'s plus konstruado. (Rikorda kazo, Varianto) sur ĉi tiu konstruado estas donita pli sube.

[redaktu] Detalita diskuto

Estu A esti ringo.

[redaktu] Suba (dimensioj, dimensias)

[redaktu] K₀

La (kunvarianca) _functor_ K₀ iras de la kategorio de (ringoj, ringas, sonoras) al la kategorio de grupoj, prenante A al la _Grothendieck_ grupo de la izomorfiaj klasoj de ĝiaj projekciaj moduloj. Por A Dedekinda ringo,

$K_0(A)=\mathop{\mathrm{Pic}}A\times\mathbf Z$ ,

kie _Pic_(A) estas la _Picard_ grupo de A.

[redaktu] K₁

_Hyman_ Baso provizis ĉi tiu difino: K₁(A) estas la _abelianisation_ de la malfinia ĝenerala lineara grupo:

K₁(A) = Gl(A)^abo = Gl(A) / [Gl(A),Gl(A)]

Ĉi tie

Gl(A) = _colim_ Gl_n(A),

la direkta limigo de la Gl_n, kiu _embeds_ en Gl_n+1 kiel la supra (maldekstre, restis) bloka matrico. Vidi ankaŭ la _Whitehead_ _torsion_ artikolo.

Por F kampo ĉi tiu venas suben al (diranta, dirante) K₁(F) estas la grupo de (unuoj, unuas) de F. Por A komuta ringo K₁(A) (klivas, fendas, forkiĝas) kiel la direkta sumo de la grupo de (unuoj, unuas) de A kaj grupo Sk₁(A), (nomita, vokis) la speciala _Whitehead_ grupo de A. Kiam A estas Dedekinda domajno (e.g. la ringo de algebraj entjeroj en algebra nombra kampo), Sk₁(A) estas nulo.

[redaktu] K₂

Johano _Milnor_ fundamenti la (ĝusta, dekstra, rajto) difino de K₂: ĝi estas la centro de la _Steinberg_ grupo _St_(A) (de _Robert_ _Steinberg_) de A, difinis per (naskantoj, naskantas, generiloj, generas) kaj rilatoj. (Naskantoj, Naskantas, Generiloj, Generas)

x_{_ij_}(r),

por pozitiva entjero mi ≠ j kaj ringaj eroj r, estas kun rezervo pri rilatoj

$x i j (r)x i j (r') = x i j (r + r')$
$[x i j (r),x j k (r')] = x i k (r r')]$ por $i\not=k$
$[x i j (r),x k l (r')] = 1$ por $i\not=l,j\not=k$

Ĉi tiuj rilatoj teni ankaŭ por rudimentaj matricoj; kien grupa homomorfio

$\varphi\colon\mathrm{St}(A)\to\mathrm{GL}(A).$

Nun K₂(A) estas difinita kiel la kerno de $\varphi$ .

Unu povas vidi (tiu, ke, kiu) ĝi estas ankaŭ la centro de _St_(A). K₁ kaj K₂ estas koneksa per la akurata vico

$1\longrightarrow K_2(A)\longrightarrow\mathrm{St}(A)\longrightarrow\mathrm{GL}(A)\longrightarrow K_1(A)\longrightarrow 1.$

Por kampo k unu havas

$K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbb Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.$

[redaktu] _Milnor_ K-teorio

_Milnor_ plui difinita, por kampo k, "pli alta" K-(grupoj, grupas) per

$K^M_*(k) := T^*k^\times/(a\otimes (1-a))$ ,

tial kiel gradita (partoj, partas) de kvociento de la tensora algebro de la multiplika grupo k^× per la duflanka idealo, generita per la

$a\otimes(1-a)$

por a ≠ 0,1. Por n = 0,1,2 ĉi tiuj koincidi kun tiuj pli supre..

[redaktu] _Quillen_'s K-teorio

La majstro, definitiva (difinoj, difinas) de K-teorio estis donita per _Daniel_ _Quillen_, post etendis (periodo, punkto) en kiu necerte havis regadita.

[redaktu] Klasigantaj spacoj de (kategorioj, kategorias)

Por malgranda kategorio C, ĝia nervo NC estas difinita kiel la duone-simpleca aro, kun kiel p-_simplices_ la figuroj

$X_0\longrightarrow X_1\longrightarrow\ldots\longrightarrow X_p$ .

La geometria kompreno BC de NC estas la klasiganta spaco de C.

[redaktu] _Quillen_'s Q-konstruado

Supozi P estas akurata kategorio, tio estas alsuma kategorio kaj ankaŭ klaso E de (mallonga) "akurataj vicoj"

$M'\longrightarrow M\longrightarrow M'',$

(veriganta, kontentiganta) certa (aksiomoj, aksiomas), prenita de la propraĵoj de mallongaj akurataj vicoj en abelaj kategorioj:

E estas (fermita, fermis) sub (izomorfioj, izomorfias).
La kanonaj mallongaj akurataj vicoj

$M'\longrightarrow M'\oplus M''\longrightarrow M''$

estas en E.

La klaso de konsentebla _epimorphisms_ - tio estas, tiuj strukturkonservantaj transformoj (tiu, ke, kiu) okazi kiel la (sekundo, dua) sago de vico en E - estas (fermita, fermis) sub komponaĵo kaj (malantaŭentiroj, malantaŭentiras) (aŭ "bazo ŝanĝas").
La klaso de konsentebla _monomorphisms_ - tio estas, tiuj strukturkonservantaj transformoj (tiu, ke, kiu) okazi kiel la unua sago de vico en E - estas (fermita, fermis) sub komponaĵo kaj _pushouts_.

Asociita al akurata kategorio P nova kategorio QP estas difinita, (objektoj, objektas) kies estas tiuj de P kaj strukturkonservantaj transformoj de M′ al M″ estas izomorfiaj klasoj de akurataj figuroj

$M'\longleftarrow N\longrightarrow M''.$

kie la unua sago estas konsentebla _epimorphism_ kaj la (sekundo, dua) sago estas konsentebla _monomorphism_.

[redaktu] La _Quillen_ K-(grupoj, grupas)

La miOno K-grupo de P estas tiam difinis kiel

K i (P) = π i + 1 (BQ P,0)

kun (fiksis, neŝanĝebligita) nulo-objekto 0.

$K 0 (P)$ koincidas kun la _Grothendieck_ grupo de $P$ .

La K-(grupoj, grupas) $K i (A)$ de la ringo A estas tiam la K-(grupoj, grupas) $K i (P A)$ kie $P A$ estas la kategorio de finie generita projekcia A-(moduloj, modulas). Kiam A estas _noetherian_ ringo, tiam $K i (A)$ estas ankaŭ izomorfia al $K i (M A)$ kie $M A$ estas la kategorio de ĉiuj finie generita A-(moduloj, modulas).

[redaktu] Kalkuloj por speciala (ringoj, ringas, sonoras)

Dum la _Quillen_ algebra K-teorio havas provizita profunda _insight_ enen diversaj (aspektoj, aspektas) de algebra geometrio kaj topologio, la K-(grupoj, grupas) havi (pruvita, pruvis) aparte malfacila al komputi escepti en kelkaj izolita sed (interezanta, interesanta) (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas).

[redaktu] Algebra K-(grupoj, grupas) de finiaj kampoj

La unua kaj unu de la plej gravaj kalkuloj de la pli alta algebra K-(grupoj, grupas) de ringo estis farita per _Quillen_ sin por la (kesto, okazo) de finiaj kampoj:

Teoremo. Estu F esti finia kampo kun q eroj. Tiam

K 0 (F) = Z

K 2 i (F) = 0

por $i\neq 0$ , kaj

$K_{2i+1}(F)= \mu_{q^i-1}$ por $i=0,1,\dots$

kie $μ r$ signifas la cikla grupo kun r eroj.

[redaktu] Algebra K-(grupoj, grupas) de (ringoj, ringas, sonoras) de (entjeroj, entjeras)

_Quillen_ (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu) se A estas la ringo de algebraj entjeroj en algebra nombra kampo F (finia vastigaĵo de la (racionaloj, racionalas)), tiam la algebra K-(grupoj, grupas) de A estas finie generita. Borelo uzita ĉi tiu al kalkuli $K i (A)$ kaj $K i (F)$ module _torsion_. Ekzemple, por la (entjeroj, entjeras) Z, Borelo (pruvita, pruvis) (tiu, ke, kiu) (module _torsion_)

K i (Z) = 0

por pozitiva mi se ne

i = 4 k + 1

kun k pozitiva

kaj (module _torsion_)

K 4 k + 1 (Z) = Z

por pozitiva k.

La _torsion_ (subgrupoj, subgrupas) de $K 2 i + 1 (Z)$ , kaj la (mendas, ordoj) de la finiaj grupoj $K 4 k + 2 (Z)$ havi ĵuse estas difinita, sed ĉu la lasta (grupoj, grupas) estas cikla, kaj ĉu la (grupoj, grupas) $K 4 k (Z)$ nuliĝi dependas sur _Vandiver_'s konjekto pri la klaso (grupoj, grupas) de _cyclotomic_ (entjeroj, entjeras).

[redaktu] Literaturo

_Daniel_ _Quillen_: pli alta algebra K-teorio: Mi. En: H. Baso (_ed_.): pli alta K-(Teorioj, Teorias). Prelego (Tononomoj, Notoj, Notas) en Matematiko, (volumeno, volumo). 341. _Springer_-_Verlag_, Berlino 1973. ISBN 3-540-06434-6

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Algebra_K-teorio_61eb.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Abstrakta algebro | K-teorio

Vikipedio:Projekto matematiko/Algebra K-teorio

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Detalita diskuto

[redaktu] Suba (dimensioj, dimensias)

[redaktu] K₀

[redaktu] K₁

[redaktu] K₂

[redaktu] _Milnor_ K-teorio

[redaktu] _Quillen_'s K-teorio

[redaktu] Klasigantaj spacoj de (kategorioj, kategorias)

[redaktu] _Quillen_'s Q-konstruado

[redaktu] La _Quillen_ K-(grupoj, grupas)

[redaktu] Kalkuloj por speciala (ringoj, ringas, sonoras)

[redaktu] Algebra K-(grupoj, grupas) de finiaj kampoj

[redaktu] Algebra K-(grupoj, grupas) de (ringoj, ringas, sonoras) de (entjeroj, entjeras)

[redaktu] Literaturo

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj

Vikipedio:Projekto matematiko/Algebra K-teorio

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Detalita diskuto

[redaktu] Suba (dimensioj, dimensias)

[redaktu] K0

[redaktu] K1

[redaktu] K2

[redaktu] _Milnor_ K-teorio

[redaktu] _Quillen_'s K-teorio

[redaktu] Klasigantaj spacoj de (kategorioj, kategorias)

[redaktu] _Quillen_'s Q-konstruado

[redaktu] La _Quillen_ K-(grupoj, grupas)

[redaktu] Kalkuloj por speciala (ringoj, ringas, sonoras)

[redaktu] Algebra K-(grupoj, grupas) de finiaj kampoj

[redaktu] Algebra K-(grupoj, grupas) de (ringoj, ringas, sonoras) de (entjeroj, entjeras)

[redaktu] Literaturo

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj

[redaktu] K₀

[redaktu] K₁

[redaktu] K₂