Vikipedio:Projekto matematiko/Harmona serio (matematiko)

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Harmona serio (matematiko)
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Vidi harmona serio (muziko) por la (rilatanta) melodia koncepto.

En matematiko, la harmona serio estas la malfinia serio

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$

Ĝi estas (do, tiel) (nomita, vokis) ĉar la (ondolongoj, ondolongas) de la akcesoraj tonoj de vibranta linio estas proporcie kun 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... .

Ĝi (diverĝas, malkonverĝas), _albeit_ malfrue, al malfinio. Ĉi tiu povas esti (pruvita, pruvis) per notanta (tiu, ke, kiu) la harmona serio estas (termo, membro, flanko, termino)-per-(termo, membro, flanko, termino) pli granda ol aŭ egala al la serio

$\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots$

$= \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots$

kiu klare (diverĝas, malkonverĝas). (Ĉi tiu pruvo, pro al _Nicole_ _Oresme_, estas alta punkto de mezepoka matematiko.) (Eĉ, Ebena, Para) la (sumo, sumi) de la (reciprokaĵoj, reciprokaĵas, inversoj, inversas) de la primoj (diverĝas, malkonverĝas) al malfinio (kvankam tio estas multa (pli peza, pli peza) al pruvi; vidi pruvo (tiu, ke, kiu) la (sumo, sumi) de la (reciprokaĵoj, reciprokaĵas, inversoj, inversas) de la (primoj, primas) (diverĝas, malkonverĝas)). La alterna harmona serio konverĝas tamen:

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.$

Ĉi tiu estas konsekvenco de la Serio de Taylor de la natura logaritmo.

Se ni difini la nOno harmona nombro kiel

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$

tiam H_n kreskas pri kiel rapida kiel la natura logaritmo de n. La kaŭzo estas (tiu, ke, kiu) la (sumo, sumi) estas aproksimita per la integralo

$\int_1^n {1 \over x}\, dx$

kies valoro estas _ln_(n).

Pli detale, ni havi la limigo:

$\lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma$

kie γ estas la Konstanto de Eŭlero-Mascheroni.

Ĝi havas estas pruvita (tiu, ke, kiu):

La nur H_n tio estas entjero estas H₁.
La diferenco H_m − H_n kie m > n estas neniam entjero.

_Jeffrey_ _Lagarias_ (pruvita, pruvis) en 2001 (tiu, ke, kiu) la Rimana hipotezo estas ekvivalento al la (propozicio, frazo, ordono)

$\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ for every }n\in\mathbb{N}$

kie σ(n) staras por la (sumo, sumi) de pozitivaj divizoroj de n. (Vidi An Rudimenta Problema Ekvivalento al la Rimana Hipotezo, Amerika Matematika Monate, volumeno 109 (2002), paĝoj 534--543.)

La ĝeneraligis harmona serio, aŭ p-serio, estas ((ĉiu, iu) de) la serio

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$

por p pozitiva reela nombro. La serio estas konverĝa se p > 1 kaj malkonverĝa alie. Kiam p = 1, la serio estas la harmona serio. Se p > 1 tiam la (sumo, sumi) de la serio estas ζ(p), kio estas, la Rimana ζ funkcio (komputis, pritaksita) je p.

Ĉi tiu povas esti uzita en la (testante, testado) de konverĝo de serio.