Série harmónica (matemática)

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Em matemática, uma série harmónica é uma série infinita

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$

Designa-se por harmónica devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmónica).

Diverge, embora lentamente, para o infinito. A demonstração faz-se tendo em conta que a série é termo a termo maior que ou igual à série

$\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots$

$= \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots$

que claramente diverge. Inclusivé a soma dos primos recíprocos diverge para infinito (embora seja bem mais difícil de provar).

Contudo, as séries harmónicas alternadas convergem:

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.$

Isto é uma consequência das Séries de Taylor do logaritmo natural.

Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$

então H_n cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral

$\int_1^n {1 \over x}\, dx$

cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite:

$\lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma$

onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

O único H_n inteiro é H₁.
A diferença H_m - H_n onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

$\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para qualquer }n\in\mathbb{N}$

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), páginas 534-543.)

A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$

para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.

Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

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Média harmónica

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Categoria: Séries

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