Vikipedio:Projekto matematiko/Kvantuma harmona oscilo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kvantuma harmona oscilo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

La kvantuma harmona oscilo estas la kvantumo mekanika analoga de la klasika harmona oscilo. Ĝi estas unu de la plej gravaj modelaj sistemoj en kvantummekaniko ĉar, kiel en klasika mekaniko, larĝa (diversaj, diversaĵo) de fizika (situacioj, situacias) povas reduktiĝi al ĝi ĉu akurate aŭ proksimume. En aparta, sistema proksima egalpezo (konfigur(aĵ)o, konfiguro) povas ofte esti priskribita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de unu aŭ pli harmonaj osciloj. Plue, ĝi estas unu de la kelkaj kvantumaj mekanikaj sistemoj por kiu simpla akurata solvaĵo estas sciata.

Jena diskuto de la kvantuma harmona oscilo fidas sur la artikola matematika formulaĵo de kvantummekaniko.

Enhavo

1 Unu-dimensia harmona oscilo
2 N-dimensia harmona oscilo
3 Rilatanta (problemoj, problemas)
- 3.1 _Anharmonic_ oscilo
- 3.2 (Duopita, Kuplita, Parita) harmonaj osciloj
4 Vidi ankaŭ
5 Referencoj
6 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Unu-dimensia harmona oscilo

[redaktu] _Hamiltonian_ kaj energiaj propraj statoj

Ondfunkciaj prezentoj por la unua ses baraj propraj statoj, n = 0 al 5. La horizontala akso montras la pozicio x. La (grafikaĵoj, grafeoj) estas ne _normalised_

Probablodensoj |ψ_n(x)|² por la baraj propraj statoj, (komenco, komencanta) kun la tero (ŝtato, stato, stati) (n = 0) je la fundo kaj pligrandiĝanta en energio al la supro. La horizontala akso montras la pozicio x, kaj pli hela (koloroj, koloras, kolorigas) prezenti pli altaj probablodensoj.

En la unu-dimensia harmona oscila problemo, partiklo de (maso, amaso) m estas kun rezervo pri potencialo V(x) = (1/2)mω² x². La _Hamiltonian_ de la partiklo estas:

$H = {p^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x^2$

kie x estas la pozicia operatoro, kaj p estas la momanta operatoro ( $p = -i \hbar \partial / \partial x$ ). La unua (termo, membro, flanko, termino) prezentas la kineta energio de la partiklo, kaj la (sekundo, dua) (termo, membro, flanko, termino) prezentas la potenciala energio en kiu ĝi rezidas. Por ke trovi la energiaj niveloj kaj la (korespondanta, respektiva) energiaj propraj statoj, ni devas solvi la tempo-sendependa Ekvacio de Schrödinger,

$H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle$ .

Ni povas solvi la diferenciala ekvacio en la koordinata bazo, uzanta potencoseria maniero. Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) estas familio de solvaĵoj,

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \hbox{exp} \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$

$n = 0, 1, 2, \ldots$

La unua ses solvaĵoj (n = 0 al 5) estas montrita dekstre. La funkcioj $H n$ estas la Hermitaj polinomoj:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

Ili devus ne esti konfuzita kun la _Hamiltonian_, kiu estas ankaŭ signifis per H. La (korespondanta, respektiva) energiaj niveloj estas

$E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)$ .

Ĉi tiu energia spektro estas notinda por du kaŭzoj. Unue, la (energioj, energias) estas "kvantumita", kaj (majo, povas) nur preni la diskreta (valoroj, valoras) de $\hbar\omega$ (tempoj, tempas) 1/2, 3/2, 5/2, kaj (do, tiel) antaŭen. Ĉi tiu estas esprimilo de multaj kvantumaj mekanikaj sistemoj. En jena sekcio sur (eskalo, ŝtupetaro) (operatoroj, operatoras), ni estos (kolizii, kontrakti) en pli detalita ekzameno de ĉi tiu fenomeno. Due, la (plej malalta, plej suba) _achievable_ energio estas ne nulo, sed $\hbar\omega/2$ , kiu estas (nomita, vokis) la "tero (ŝtato, stato, stati) energio" aŭ nulo-punkta energio. Ĝi estas ne evidenta (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas grava, ĉar normale la nulo de energio estas ne fizike signfa kvanto, nur diferencoj en (energioj, energias). Tamen, la tero (ŝtato, stato, stati) energio havas multaj implikacioj, aparte en kvantuma gravito.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la tero (ŝtato, stato, stati) probablodenso estas (koncentrita, koncentriĝita) je la fonto. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) la partiklo pasigas la plejparto de ĝia tempo je la fundo de la potencialo bone, kiel ni devus atendi por (ŝtato, stato, stati) kun malgranda energio. Kiel la energio (multigas, pligrandiĝoj, pligrandiĝas), la probablodenso iĝas (koncentrita, koncentriĝita) je la "klasikaj turnopunktoj", kie la (ŝtata, stata) energio koincidas kun la potenciala energio. Ĉi tiu estas konsekvenca kun la klasika harmona oscilo, en kiu la partiklo pasigas la plejparto de ĝia tempo (kaj estas pro tio plej verŝajna al troviĝi) je la turnopunktoj, kie ĝi estas la plej malfrua. La rilata principo estas tial kontentigita.

[redaktu] (Eskalo, Ŝtupetaro) operatora maniero

La potencoseria solvaĵo, kvankam simpla, estas iom teda. La "(eskalo, ŝtupetaro) operatoro" maniero, pro al (Paŭlo, Bono) Dirako, permesas ni al ekstrakti la energio (ajgenoj, ajgenas) sen rekte solvanta la diferenciala ekvacio. Plue, ĝi estas _readily_ _generalizable_ al pli komplika (problemoj, problemas), rimarkinde en kvantuma kampa teorio. Sekva ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo), ni difini la (operatoroj, operatoras) a kaj ĝia adjunkto a^†

$\begin{matrix} a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\ a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right) \end{matrix}$

La operatoro a estas ne Hermita ekde ĝi kaj ĝia adjunkto a^† estas ne egala.

En derivanta la (formo, formi) de a^†, ni havi uzita la fakto (tiu, ke, kiu) la (operatoroj, operatoras) x kaj p, kiu prezenti _observables_, estas Hermita.

La x kaj p (operatoroj, operatoras) obei jena idento, sciata kiel la kanona _commutation_ rilato:

$\left[x , p \right] = i\hbar$ .

La kvadrato (krampoj, krampas) en ĉi tiu ekvacio estas kutime-uzita _notational_ aparato, sciata kiel la komutilo, difinis kiel

$\left[A , B \right] \equiv AB - BA$ .

Uzanta la pli supre, ni povas pruvi la identoj

$H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)$

$\left[a , a^{\dagger} \right] = 1$ .

Nun, estu $\left|\psi_E\right\rangle$ signifi energia propra stato kun energio E. La ena (produkto, produto) de (ĉiu, iu) _ket_ kun sin devas esti nenegativa, (do, tiel)

$\left(a \left|\psi_E \right\rangle, a \left|\psi_E \right\rangle\right) = \left\langle\psi_E \right| a^\dagger a \left| \psi_E \right\rangle \ge 0$ .

Esprimanta a^†a en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la _Hamiltonian_:

$\left\langle\psi_E \right| {H \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \left|\psi_E\right\rangle = \left({E \over \hbar \omega} - {1 \over 2} \right) \ge 0$ ,

tiel ke $E \ge \hbar \omega / 2$ . (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) kiam ( $a \left| \psi_E \right \rangle$ ) estas la nulo _ket_ (kio estas _ket_ kun longa nulo), la neegalaĵo estas saturita, tiel ke $E = \hbar \omega / 2$ . Ĝi estas simpla al kontroli (tiu, ke, kiu) tie ekzistas (ŝtato, stato, stati) (veriganta, kontentiganta) ĉi tiu kondiĉo; ĝi estas la tero (n = 0) (ŝtato, stato, stati) donita en la antaŭvenanta sekcio.

Uzanta la pli supre identoj, ni povas nun montri (tiu, ke, kiu) la _commutation_ rilatoj de a kaj a^† kun H estas:

$\begin{matrix} \left[H , a \right] &=& - \hbar \omega a \\ \left[H , a ^\dagger\right] &=& \hbar \omega a^\dagger \end{matrix}$ .

Tial, provizis ( $a \left| \psi_E \right \rangle$ ) estas ne la nulo _ket_,

$\begin{matrix} H (a \left| \psi_E \right\rangle) &=& (\left[H,a\right] + a H) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (- \hbar\omega a + a E) \left|\psi_E\right\rangle \\ &=& (E - \hbar\omega) (a\left|\psi_E\right\rangle) \end{matrix}$ .

Simile, ni povas montri (tiu, ke, kiu)

$H (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle) = (E + \hbar\omega) (a^\dagger \left| \psi_E \right\rangle)$ .

En alia (vortoj, vortas), a (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur propra stato de energio E al produkti, supren al multiplika konstanto, alia propra stato de energio $E - \hbar \omega$ , kaj a^† (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur propra stato de energio E al produkti propra stato de energio $E + \hbar \omega$ . Por ĉi tiu kaŭzo, a estas (nomita, vokis) "malaltiganta operatoro", kaj a^† "(altiganta, relevanta) operatoro". La du (operatoroj, operatoras) kune estas (nomita, vokis) "(eskalo, ŝtupetaro) (operatoroj, operatoras)". En kvantuma kampa teorio, a kaj a^† estas alternative (nomita, vokis) "anihilacio" kaj "kreado" (operatoroj, operatoras) ĉar ili detrui kaj krei (partikloj, partiklas), kiu esti konforma laŭ nia _quanta_ de energio.

Donita (ĉiu, iu) energia propra stato, ni povas (ago, agi, operacii, akto) sur ĝi kun la malaltiganta operatoro, a, al produkti alia propra stato kun $\hbar \omega$ , malpli energio. Per ripetis apliko de la malaltiganta operatoro, ĝi aspektas (tiu, ke, kiu) ni povas produkti energiaj propraj statoj suben al E = −&_infin_;. Tamen, ĉi tiu devus kontraŭdiri nia pli frua bezono (tiu, ke, kiu) $E \ge \hbar \omega / 2$ . Pro tio, tie devas esti tero-(ŝtato, stato, stati) energia propra stato, kiu ni marko $\left| 0 \right \rangle$ (ne al esti konfuzita kun la nulo _ket_), tia (tiu, ke, kiu)

$a \left| 0 \right\rangle = 0 \hbox{(zero ket)}$ .

En ĉi tiu (kesto, okazo), sinsekvaj aplikoj de la malaltiganta operatoro estos (justa, ĵus) produkti nulo _kets_, anstataŭ aldona energia propra stato. Plue, ni havi montrita pli supre (tiu, ke, kiu)

$H \left|0\right\rangle = (\hbar\omega/2) \left|0\right\rangle$

Fine, per agante sur $\left| 0 \right \rangle$ kun la (altiganta, relevanta) operatoro kaj multiplikante per taŭgi normaligo (faktoroj, faktoras), ni povas produkti malfinia aro de energiaj propraj statoj $\left\{\left| 0 \right \rangle, \left| 1 \right \rangle, \left| 2 \right \rangle, ... , \left| n \right \rangle, ...\right\}$ , tia (tiu, ke, kiu)

$H \left|n\right\rangle = \hbar\omega (n + 1/2) \left|n\right\rangle$

kiu (alumetoj, maĉoj, konkursoj) la energia spektro kiu ni donita en la antaŭvenanta sekcio.

[redaktu] Natura longo kaj energio (krustoj, krustas, skaloj, skalas)

La kvantuma harmona oscilo _possesses_ natura (krustoj, krustas, skaloj, skalas) por longo kaj energio, kiu povas kutimi (simpligi, plisimpligi) la problemo. Ĉi tiuj povas troviĝi per _nondimensionalization_. La rezulto estas (tiu, ke, kiu) se ni mezuri energio en (unuoj, unuas) de $\hbar \omega$ kaj distanco en (unuoj, unuas) de $\left(\hbar / \left(m \omega\right)\right)^{1/2}$ , tiam la _Schr_ö_dinger_ ekvacio iĝas:

$H = - {1\over2} {\partial^2 \over \partial u^2 } + {1 \over 2} u^2$ ,

kaj la energiaj propraj funkcioj kaj (ajgenoj, ajgenas) iĝi

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = {1 \over \sqrt{2^n n!}} \pi^{-1/4} \hbox{exp} (-u^2 / 2) H_n(u)$

$E_n = n + {1\over 2}$ .

Al eviti konfuzo, ni estos ne (adopti, filigi) ĉi tiuj natura (unuoj, unuas) en ĉi tiu artikolo. Tamen, ili ofte veni en oportuna kiam plenumante kalkuloj.

[redaktu] N-dimensia harmona oscilo

La unu-dimensia harmona oscilo estas _readily_ _generalizable_ al N (dimensioj, dimensias), kie N = 1, 2, 3, ... . En unu dimensio, la pozicio de la partiklo estis precizigita per sola koordinato, x. En N (dimensioj, dimensias), ĉi tiu estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per N pozicio (koordinatoj, koordinatas), kiu ni marko x₁, ..., x_N. (Korespondanta, Respektiva) al ĉiu pozicia koordinato estas momanto; ni marko ĉi tiuj p₁, ..., p_N. La kanona _commutation_ rilatoj inter ĉi tiuj (operatoroj, operatoras) estas

$\begin{matrix} \left[x_i , p_j \right] &=& i\hbar\delta_{i,j} \\ \left[x_i , x_j \right] &=& 0 \\ \left[p_i , p_j \right] &=& 0 \end{matrix}$ .

La _Hamiltonian_ por ĉi tiu sistemo estas

$H = \sum_{i=1}^N \left( {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x_i^2 \right)$ .

Kiel la (formo, formi) de ĉi tiu _Hamiltonian_ (konstruas, faras) klara, la N-dimensia harmona oscilo estas akurate analoga al N sendependaj unu-dimensiaj harmonaj osciloj kun la sama (maso, amaso) kaj (fonto, risorto, printempo) konstanto. En ĉi tiu (kesto, okazo), la (kvantoj, kvantas) x₁, ..., x_N devus referi al la (pozicioj, pozicias) de ĉiu de la N (partikloj, partiklas). Ĉi tiu estas feliĉa propraĵo de la r² potencialo, kiu permesas la potenciala energio al esti apartigita enen (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) dependanta sur unu koordinato ĉiu.

Ĉi tiu observado (konstruas, faras) la solvaĵo simpla. Por aparta aro de kvantumaj nombroj {n} la energiaj propraj funkcioj por la N-dimensia oscilo estas esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la 1-dimensiaj propraj funkcioj kiel:

$\langle \mathbf{x}|\psi_{\{n\}}\rangle =\prod_{i=1}^N\langle x_i|\psi_{n_i}\rangle$

En la (eskalo, ŝtupetaro) operatora maniero, ni difini N aroj de (eskalo, ŝtupetaro) (operatoroj, operatoras),

$\begin{matrix} a_i &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x_i + {i \over m \omega} p_i \right) \\ a^{\dagger}_i &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x_i - {i \over m \omega} p_i \right) \end{matrix}$ .

Per proceduro analoga al la unu-dimensia (kesto, okazo), ni povas tiam montri (tiu, ke, kiu) ĉiu de la a_mi kaj a^†_mi (operatoroj, operatoras) suba kaj (altigi, relevi) la energio per ℏ&oMEGA; respektive. La energiaj niveloj de la sistemo estas

$E = \hbar \omega \left[(n_1 + \cdots + n_N) + {N\over 2}\right]$ .

$\, n_i = 0, 1, 2, \dots$

Kiel en la unu-dimensia (kesto, okazo), la energio estas kvantumita. La tero (ŝtato, stato, stati) energio estas N (tempoj, tempas) la unu-dimensia energio, kiel ni devus atendi uzanta la analogio al N sendependaj unu-dimensiaj osciloj. Estas unu plui diferenco: en la unu-dimensia (kesto, okazo), ĉiu energia nivelo korespondas al unika kvantuma stato. En N-(dimensioj, dimensias), krom la tero (ŝtato, stato, stati), la energiaj niveloj estas degeneri, signifo estas kelkaj ŝtatoj kun la sama energio.

La _degeneracy_ povas esti kalkulita relative facile, kiel ekzemplo, konsideri la 3-dimensia (kesto, okazo): Difini n = n₁ + n₂ + n₃. Ĉiuj ŝtatoj kun la sama n estos havi la sama energio. Por donita n, ni elekti aparta n₁. Tiam n₂ + n₃ = n − n₁. Estas n − n₁ + 1 ebla (grupoj, grupas) {n₂, n₃}. n₂ povas alpreni la (valoroj, valoras) 0 al n − n₁, kaj por ĉiu n₂ la valoro de n₃ estas (fiksita, neŝanĝebligita). La grado de _degeneracy_ pro tio estas:

$g_n = \sum_{n_1=0}^n n - n_1 + 1 = \sum_{n_1=0}^n n + 1 - \sum_{n_1=0}^n n_1 = (n+1)(n+1) - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

[redaktu] Rilatanta (problemoj, problemas)

La kvantuma harmona oscilo povas esti etendita en multaj (interezanta, interesanta) (vojoj, vojas). Ni estos lakone (diskuti, diskuto) du de la pli grava (vastigaĵoj, vastigaĵas), la _anharmonic_ oscilo kaj (duopis, kuplita, parita) harmonaj osciloj.

[redaktu] _Anharmonic_ oscilo

Kiel menciis en la enkonduko, sistemo rezidanta "proksima" la minimumo de iu potencialo (majo, povas) esti traktata kiel harmona oscilo. En ĉi tiu proksimuma kalkulado, ni Taylor-elvolvi la potenciala energio ĉirkaŭ la minimumo kaj uzofini (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de tria aŭ pli alta (mendi, ordo), rezultanta en aproksimi kvadrata potencialo. Iam ni havi studita la sistemo en ĉi tiu proksimuma kalkulado, ni (majo, povas) deziri al esplori la korektadoj pro al la uzofinis pli alta-(mendi, ordo) (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas), aparte la tria-(mendi, ordo) (termo, membro, flanko, termino).

La _anharmonic_ oscilo _Hamiltonian_ estas la harmona oscilo _Hamiltonian_ kun aldona x³ potencialo:

$H = {p^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x^2 + \lambda x^3$

Se la harmona proksimuma kalkulado estas valida, la koeficiento λ estas malgranda (komparita, komparis) al la kvadrata (termo, membro, flanko, termino). Ni (majo, povas) pro tio uzi perturba teorio al difini la korektadoj al la ŝtatoj kaj energiaj niveloj (trudis, altrudita) per la _anharmonic_ (termo, membro, flanko, termino). Ĉi tiu tasko (majo, povas) esti (simpligita, plisimpligita) per uzanta la (eskalo, ŝtupetaro) (operatoroj, operatoras) al reverki la _anharmonic_ (termo, membro, flanko, termino) kiel

$\lambda \left({\hbar \over 2m\omega}\right)^{3\over2} (a + a^\dagger)^3.$

Ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster (tiu, ke, kiu) la korektado al la (energioj, energias) nuliĝi al unua-(mendi, ordo) en λ. La (sekundo, dua)-(mendi, ordo) korektadoj estas donita per la kutima formulo en perturba teorio:

$\Delta E^{(2)} = \lambda^2 \left\langle \psi_E \right| x^3 {1 \over E - H_0} x^3 \left| \psi_E \right\rangle.$

Ĉi tiu estas simpla, kvankam teda, al (komputi, pritaksi).

[redaktu] (Duopita, Kuplita, Parita) harmonaj osciloj

En ĉi tiu problemo, ni konsideri N egala (masoj, amasoj) kiu estas koneksa al ilia (najbaroj, najbaras) per (fontoj, fontas, risortoj, risortas, printempoj, printempas, banurbo, banloko), en la limigo de granda N. La (masoj, amasoj) (formo, formi) lineara ĉeno en unu dimensio, aŭ regula krado en du aŭ tri (dimensioj, dimensias).

Kiel en la antaŭa sekcio, ni signifi la (pozicioj, pozicias) de la (masoj, amasoj) per x₁, x₂, ..., kiel (mezuris, kriteriita) de ilia egalpezo (pozicioj, pozicias) (kio estas x_k = 0 se partiklo k estas je ĝia egalpeza pozicio.) En du aŭ pli (dimensioj, dimensias), la xs estas vektoro (kvantoj, kvantas). La _Hamiltonian_ de la tuteca sistemo estas

$H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (nn)} (x_i - x_j)^2$

La potenciala energio estas sumita super "plej proksima-najbaro" (paroj, paras), (do, tiel) estas unu (termo, membro, flanko, termino) por ĉiu (fonto, risorto, printempo).

Rimarkinde, tie ekzistas koordinata transformo al turni ĉi tiu problemo enen aro de sendependaj harmonaj osciloj, ĉiu kies korespondas al aparta (kolektivo, kolektiva) distordo de la krado. Ĉi tiuj distordoj elmontri iuj partikloEcaj propraĵoj, kaj estas (nomita, vokis) _phonons_. _Phonons_ okazi en la _ionic_ (kradoj, kradas, latisoj, latisas) de multaj (solidoj, solidas), kaj estas ege grava por komprenanta multaj de la fenomenoj studis en solido (ŝtato, stato, stati) fiziko.

[redaktu] Vidi ankaŭ

gaso en harmona kariolo
kreado kaj anihilacio (operatoroj, operatoras)
kohera (ŝtato, stato, stati)

[redaktu] Referencoj

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Kvantuma Harmona Oscilo

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Kvantuma_harmona_oscilo_f5fc.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Kvantumaj modeloj