Vikipedio:Projekto matematiko/Paskala triangulo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Paskala triangulo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

La unua ses (linioj, vicoj, linias, vicas) de Paskala triangulo

En matematiko, Paskala triangulo estas geometria ordigo de la dutermaj koeficientoj en triangulo. Ĝi estas nomita post Blaise Pascal, (eĉ, ebena, para) kvankam aliaj studis ĝi (jarcentoj, jarcentas) antaŭ lin.

En simpla (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas), Paskala triangulo povas esti konstruita en jena maniero. Sur la unua (linio, vico), skribi nur la nombro 1. Tiam, al konstrui la eroj de sekva (linioj, vicoj, linias, vicas), adicii la nombro rekte pli supre kaj maldekstren (se (ĉiu, iu)) kaj la nombro rekte pli supre kaj dekstren (se (ĉiu, iu)) al trovi la nova valoro. Ekzemple, la nombroj 1 kaj 3 en la kvara (linio, vico) estas adiciita al produkti 4 en la kvina (linio, vico). Pli formale, ĉi tiu konstruado estas uzanta Paskala regulo, kiuj ŝtatoj (tiu, ke, kiu)

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

por nenegativa (entjeroj, entjeras) n kaj k kie n ≥ k kaj kun la komenca kondiĉo

${n \choose 0} = {n \choose n} = 1.$

Paskala triangulo ĝeneraligas _readily_ enen pli altaj dimensioj. La tri-dimensia versio estas (nomita, vokis) Paskala piramido aŭ Paskala kvaredro. pli alta-dimensia analoga estas _generically_ (nomita, vokis) "Paskala simpleca". Vidi ankaŭ piramido, kvaredro, kaj (simpleco, simpleca).

Enhavo

1 La triangulo
2 Uzas de Paskala triangulo
3 Propraĵoj de Paskala triangulo
4 Geometriaj propraĵoj de Paskala triangulo
5 Paskala triangulo kaj la matrica eksponenta funkcio
6 Historio
7 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] La triangulo

Jen 15 linioj de Paskala triangulo

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1

[redaktu] Uzas de Paskala triangulo

Paskala triangulo havas multaj uzas en dutermo (elvolvaĵoj, elvolvaĵas). Ekzemple

(x + 1)² = 1x² + 2x + 1².

(Rimarki, Avizo) la koeficientoj estas la tria (linio, vico) de Paskala triangulo: 1, 2, 1. En ĝenerala, kiam dutermo estas altigita al pozitiva entjera povo ni havi:

(x + y)ⁿ = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹y + a₂xⁿ⁻²y² + … + a_n−1_xy_ⁿ⁻¹ + a_nyⁿ,

kie la koeficientoj a_mi en ĉi tiu elvolvaĵo estas precize la nombroj sur (linio, vico) n + 1 de Paskala triangulo; en alia (vortoj, vortas),

$a_i = {n \choose i}.$

Por ke pruvi (tiu, ke, kiu) ĉi tiu interpretado ((tiu, ke, kiu) de ĉiu linio estante la koeficientoj de (x+1)^{(linio, vico) nombro}) estas la sama kiel la formulo donita je la (komenco, komencanta) de la artikolo (adicianta du flanko-per-flankaj nombroj al preni la unu pli sube ilin), unu devas starti per konsideranta (tiu, ke, kiu) la tuta (ĝusta, dekstra, rajto) diagonalo korespondas al la koeficiento de x⁰ kiam (x+1) havas estas altigita al iu povo egala al la (linio, vico) nombro. La venonta diagonalo korespondas al la koeficiento de x¹, kaj tiel plu. Nun, algebre, ni estas (penanta, provanta, penante) al difini kio (x+1)ⁿ⁺¹ (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati, se ni starti per difinanta (x+1)ⁿ kiel estante egala al

$\sum_{i=0}^n a_i x^i$

Nun

$(x+1)^{n+1} = x(x+1)^n + (x+1)^n = \sum_{i=0}^n a_i x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i$

Venonta ni senrubigi la (sumadoj, sumadas):

$\sum_{i=0}^{n } a_{i } x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i =$

$\sum_{i=1}^{n+1} a_{i-1} x^{i } + \sum_{i=0}^n a_i x^i =$

$\sum_{i=1}^{n } a_{i-1} x^{i } + \sum_{i=1}^n a_i x^i + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} =$

$\sum_{i=1}^{n } (a_{i-1} + a_i)x^{i } + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} =$

$\sum_{i=1}^{n } (a_{i-1} + a_i)x^{i } + x^0 + x^{n+1}$ (pro kiel (altiganta, relevanta) polinomo al povo (laboroj, laboras), a₀ = a_n = 1)

Ni nun havi esprimo por la polinomo (x+1)ⁿ⁺¹ en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la koeficientoj de (x+1)ⁿ (ĉi tiuj estas la a_mis), kiu estas kio ni (bezoni, bezono, necesa) se ni bezono al (ekspreso, esprimi) linio en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la linio pli supre ĝi. Memori (tiu, ke, kiu) ĉiu (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) en diagonalo iranta de la supra-(maldekstre, restis) al la suba-(ĝusta, dekstra, rajto) esti konforma laŭ la sama povo de x, kaj (tiu, ke, kiu) la a-(termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) estas la koeficientoj de la polinomo (x+1)ⁿ, kaj ni estas (determinanta, difinanta) la koeficientoj de (x+1)ⁿ⁺¹. Nun, por (ĉiu, iu) donita mi ne 0 aŭ n+1, la koeficiento de la x^mi (termo, membro, flanko, termino) en la polinomo (x+1)ⁿ⁺¹ estas egala al a_mi (la (cifero, figuro) pli supre kaj maldekstren de la (cifero, figuro) al esti difinita, ekde ĝi estas sur la sama diagonalo) + a_mi-1 (la (cifero, figuro) al la senpera (ĝusta, dekstra, rajto) de la unua (cifero, figuro)). Inspektanta Paskala Triangulo, ni trovi (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas ja la regulo je la (komenco, komencanta) de la artikolo.

Ankaŭ, kiam Paskala triangulo estas konstruita kun 2ⁿ niveloj kaj ĉiuj neparaj nombroj estas alozita, la rezulto estas proksimuma kalkulado al la Triangulo de Sierpinski. Alozanta ĉiuj (obloj, oblas) de 3, 4, kaj tiel plu rezultoj en aliaj ŝablonoj.

[redaktu] Propraĵoj de Paskala triangulo

Iuj simplaj ŝablonoj estas (tuj, senpere) (montrebla, videbla) en Paskala triangulo:

La diagonaloj iranta laŭ la (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) randoj enhavi nur _1s_.
La diagonaloj (apuda, apud) la randaj diagonaloj enhavi la naturaj nombroj en ordo.
Movanta enen, la venonta paro de diagonaloj enhavi la triangulaj nombroj en ordo.
La venonta paro de diagonaloj enhavi la kvaredraj nombroj en ordo, kaj la venonta paro doni _pentatope_ nombroj. En ĝenerala, ĉiu venonta paro de diagonaloj enhavas la venonta pli alta dimensia "d-triangulo" nombroj, kiu povas esti difinita kiel

$\textrm{tri}_1(n) = n \quad\mbox{and}\quad \textrm{tri}_{d}(n) = \sum_{i=1}^n \mathrm{tri}_{d-1}(i).$

La geometria signifo de funkcio _tri__d estas kiel sekvas: _tri__d(1) = 1 por ĉiu don/Doña Nun, konstrui d-dimensia triangulo (3-dimensia triangulo estas kvaredro) per (lokanta, metanta) aldona (punktoj, punktas) pli sube komenca punkto, (korespondanta, respektiva) al _tri__d(1)=1. Loko ĉi tiuj (punktoj, punktas) en maniero analoga al la lokigo de nombroj en Paskala Triangulo.

Triangulo de Sierpinski

Al trovi _tri__d(x), havi tuteca de x (punktoj, punktas) (verkanta, komponanta) la (celtabulo, celo) formo. _tri__d(x) tiam egalas la tuteca nombro de (punktoj, punktas) en la formo. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) 1-dimensia triangulo estas simple linio, kaj pro tio _tri_₁(x)=x, kiu estas la vico de naturaj nombroj. Ankaŭ (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) la nombro de (punktoj, punktas) en ĉiu (markoti, markoto) korespondas al _tri__d-1(x).

Ĝi devus ankaŭ esti dirita (tiu, ke, kiu) se unu estita al koloro la nepara kaj (eĉ, ebena, para) nombroj malsama, klara (koloroj, koloras, kolorigas), vi devus havi ŝablono sciata kiel Triangulo de Sierpinski, kiu estas fraktalo.

Alia rimarkinda trajto de la triangulo estas (tiu, ke, kiu) la valoro de ĉiu (linio, vico), se ĉiu nombro en diris (linio, vico) estas (konsiderita, konsideris) kiel "loko", kaj nombroj pli granda ol 10 estas portita super laŭe, estas povo de 11. (Aparte, 11^(n-1), kie n estas la nombro de la (linio, vico), (komenco, komencanta) je 1). Ekzemple, (Linio, Vico) 3 legas '1, 2, 1', kiu estas 11^(3-1), aŭ 11² (121). En (Linio, Vico) 6, '1, 5, 10, 10, 5, 1' estas tradukita al 161051 post portanta la (valoroj, valoras) super, kiu estas 11⁵, aŭ 11^(6-1). Se unu konsideras la algebra interpretado de la Triangulo, (tiu, ke, kiu) ĉiu (linio, vico) estas simple la koeficientoj de la polinomo (x+1)^{(linio, vico) nombro}, tiam opcio x = 10 kaj (ĝustiganta, adaptanta, alĝustiganta) la (valoroj, valoras) al konformi la dekuma frakcia sistemo donas la pli supre rezulto.

Tie's alia propraĵo de ĉi tiu triangulo: Imagi ĉiu nombro koneksa en krado al tiuj najbara al ĝi (Imagi _Plinko_ luda estraro). Startanta je la supro 1, sen malavanco aŭ iranta _sideways_, provi al preni al alia vertico tra ĉi tiuj kradaj vojoj kiel multaj (vojoj, vojas) kiel ebla. La (respondo, respondi) estas nenial nombro la vertico havas. La interpretado de la valoro en vertico de Paskala Triangulo kiel la nombro de vojoj al (tiu, ke, kiu) vertico de la trinkmono (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) sur _Plinko_ estraro formis ŝati triangulo, la probablo de konkeranta (ŝatas, premioj, premias) pli proksima la centro estos esti pli alta ol konkeranta (ŝatas, premioj, premias) sur la randoj.

Estas ankaŭ pli surprizanta, subtilaj ŝablonoj. De sola ero de la triangulo, pli malprofunda diagonala linio povas esti (formita, formularita, knedita) per daŭre movanta unu ero maldekstren, tiam unu ero al la supro-(maldekstre, restis), aŭ per iranta en la kontraŭa direkto. Unu tia ekzemplo estas la linio kun eroj 1,6,5,1, kiu startas de la (linio, vico), 1,3,3,1 kaj (randoj, randas, finoj, finas) tri (linioj, vicoj, linias, vicas) suben. Tia "diagonalo" havas (sumo, sumi) tio estas Fibonaĉi-nombroj. En nia ekzempla (kesto, okazo), 13. Observi:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

La (sekundo, dua) emfazis diagonalo havas (sumo, sumi) de 233.

Aldone, se ni permesi (linio, vico) m al indiki (linio, vico) $(n + 1)$ , la (sumo, sumi) de la (kvadratoj, placoj, kvadratigas) de la eroj de (linio, vico) m egalas la meza ero de (linio, vico) $(2 m - 1)$ . Ekzemple, $12 + 4 2 + 6 2 + 4 2 + 1 2 = 70$ . En ĝenerala (formo, formi), tio estas:

$\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}$

Alia (interezanta, interesanta) ŝablono estas (tiu, ke, kiu) sur (ĉiu, iu) (linio, vico) m, kie m estas nepara, la mezo (termo, membro, flanko, termino) minus la (termo, membro, flanko, termino) du (aknoj, aknas, akneroj, akneras) maldekstren egalas Kataluna nombro, aparte la (m+1)/2 Kataluna nombro. Ekzemple: sur (linio, vico) 5, 6 - 1 = 5, kiu estas la 3^_rd_ Kataluna nombro, kaj (5 + 1)/2 = 3.

Ankaŭ, la (sumo, sumi) de la eroj de (linio, vico) m estas egala al 2^m-1. Ekzemple, la (sumo, sumi) de la eroj de (linio, vico) 5 estas $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ , kiu estas egala al $24 = 16$ .

Iu de la nombroj en Paskala triangulo _corelate_ al nombroj en _Lozanić_'s triangulo.

[redaktu] Geometriaj propraĵoj de Paskala triangulo

Paskala triangulo povas esti uzita kiel serĉo (baremo, tabelo, tablo) por la nombro de arbitre dimensiis eroj en sola arbitre dimensiis versio de triangulo (sciata kiel (simpleco, simpleca)). Ekzemple, konsideri la 3-a linio de la triangulo, kun (valoroj, valoras) 1, 3, 3, 1. 2-dimensia triangulo havas unu 2-dimensia ero (sin), 3 1-dimensiaj eroj (linioj, aŭ randoj), kaj 3 0-dimensiaj eroj (verticoj, aŭ anguloj). La signifo de la fina nombro (1) estas pli malfacila al ekspliki (sed vidi pli sube). Daŭranta kun nia ekzemplo, kvaredro havas 1 3-dimensia ero (sin), 4 2-dimensiaj eroj ((vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras)), 6 1-dimensiaj eroj (randoj), kaj 4 0-dimensiaj eroj (verticoj). Ĉi tiuj (valoroj, valoras) esti konforma laŭ la 4-a (linio, vico) de la triangulo. Linio 1 korespondas al punkto, kaj Linio 2 korespondas al linio. Ĉi tiu ŝablono daŭras al arbitre alta-dimensiis _hyper_-(kvaredroj, kvaredras).

Al kompreni kial ĉi tiu ŝablono ekzistas, unu devas unua kompreni (tiu, ke, kiu) la procezo de konstruaĵo n-(simpleco, simpleca) de (n − 1)-(simpleco, simpleca) konsistas de simple adicianta nova vertico al la lasta, poziciis tia (tiu, ke, kiu) ĉi tiu nova vertico (mensogoj, mensogas, kuŝas) ekster la spaco de la originala (simpleco, simpleca), kaj trakonektanta ĝi al ĉiuj originalaj verticoj. Kiel ekzemplo, konsideri la (kesto, okazo) de konstruaĵa kvaredro de triangulo, la lasta de kies eroj estas nombrita per (linio, vico) 3 de Paskala triangulo: 1 (vizaĝo, edro), 3 randoj, kaj 3 verticoj (la signifo de la fina 1 estos esti eksplikita mallonge). Al (masoni, ĉarpenti, konstrui) kvaredro de triangulo, ni pozicia nova vertico pli supre la ebeno de la triangulo kaj trakonekti ĉi tiu vertico al ĉiuj tri verticoj de la originala triangulo.

La nombro de donita dimensia ero en la kvaredro estas nun la (sumo, sumi) de du nombroj: unua la nombro de (tiu, ke, kiu) ero fundamenti en la originala triangulo, plus la nombro de novaj eroj, ĉiu kies estas konstruita sur eroj de unu malpli dimensio de la originala triangulo. Tial, en la kvaredro, la nombro de (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) estas 1 (la originala triangula sin) + 3 (la nova (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras), ĉiu konstruita sur rando de la originala triangulo) = 4. La nombro de randoj estas 3 (de la originala triangulo) + 3 (la novaj randoj, ĉiu konstruita sur vertico de la originala triangulo) = 6. La nombro de novaj verticoj estas 3 (de la originala triangulo) + 1 (la nova vertico (tiu, ke, kiu) estis adiciita al krei la kvaredro de la triangulo). Ĉi tiu procezo de sumanta la nombro de eroj de donita dimensio al tiuj de unu malpli dimensio al alveni je la nombro de la antaŭa fundamenti en la venonta pli alta (simpleco, simpleca) estas ekvivalento al la procezo de sumanta du najbaraj nombroj en (linio, vico) de Paskala triangulo al liveri la nombro pli sube. Tial, la signifo de la fina nombro (1) en (linio, vico) de Paskala triangulo iĝas komprenita kiel (figuranta, prezentanta) la nova vertica tio estas al esti adiciita al la (simpleco, simpleca) (prezentita, prezentis) per (tiu, ke, kiu) (linio, vico) al liveri la venonta pli alta (simpleco, simpleca) (figuranta, prezentanta) per la venonta (linio, vico).

Simila ŝablono estas observita rilatante al (kvadratoj, placoj, kvadratigas), kiel kontraŭ trianguloj. Al trovi la ŝablono, unu devas konstrui analoga al Paskala triangulo, kies elementoj estas la koeficientoj de (x+2)^{(Linio, Vico) Nombro}, anstataŭ (x+1)^{(Linio, Vico) Nombro}. Estas (duopo, kupli, paro) (vojoj, vojas) al fari ĉi tiu. La pli simpla estas al komenci kun (Linio, Vico) 0 = 1 kaj (Linio, Vico) 1 = 1, 2. Procedi al konstrui la analogaj trianguloj laŭ jena regulo:

${n \choose k} = 2\times{n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

Tio estas, elekti paro de nombroj laŭ la reguloj de Paskala triangulo, sed duopa la unu maldekstre antaŭ adicianta. Ĉi tiuj rezultoj en:

1
1 2
1 4 4
1 6 12 8
1 8 24 32 16
1 10 40 80 80 32
1 12 60 160 240 192 64
1 14 84 280 560 672 448 128

La alia vojo de munti ĉi tiu triangulo estas al starti kun Paskala triangulo kaj multipliki ĉiu (termo, koeficiento, elemento) per 2^k, kie k estas la pozicio en la (linio, vico) de la donita nombro. Ekzemple, la 2-a valoro en (linio, vico) 4 de Paskala triangulo estas 6 (la inklino de 1's korespondas al la nula (termo, koeficiento, elemento) en ĉiu (linio, vico)). Al preni la valoro (tiu, ke, kiu) rezidas en la (korespondanta, respektiva) pozicio en la analoga triangulo, multipliki 6 per 2^{Pozicia Nombro} = 6 * 2² = 6 * 4 = 24. Nun (tiu, ke, kiu) la analoga triangulo havas estas konstruita, la nombro de eroj de (ĉiu, iu) dimensio (tiu, ke, kiu) (verki, komponi) arbitre dimensiita kubo ((nomita, vokis) mezura hipermultedro) povas esti legi de la (baremo, tabelo, tablo) kvazaŭ analoga al Paskala triangulo. Ekzemple, la nombro de 2-dimensiaj eroj en 2-dimensia kubo (kvadrato) estas unu, la nombro de 1-dimensiaj eroj (flankoj, aŭ linioj) estas 4, kaj la nombro de 0-dimensiaj eroj (punktoj, aŭ verticoj) estas 4. Ĉi tiu (alumetoj, maĉoj, konkursoj) la 2-a (linio, vico) de la (baremo, tabelo, tablo) (1, 4, 4). Kubo havas 1 kubo, 6 (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras), 12 randoj, kaj 8 verticoj, kiu korespondas al la venonta linio de la analoga triangulo (1, 6, 12, 8). Ĉi tiu ŝablono daŭras nedefinite.

Al kompreni kial ĉi tiu ŝablono ekzistas, unua agnoski (tiu, ke, kiu) la konstruado de n-kubo de (n − 1)-kubo estas farita per simple duplikatanta la originala (cifero, figuro) kaj _displacing_ ĝia iu distanco (por regula n-kubo, la randa longo) perpendikulara al la spaco de la originala (cifero, figuro), tiam trakonektanta ĉiu vertico de la nova (cifero, figuro) al ĝia (korespondanta, respektiva) vertico de la originala. Ĉi tiu komenca _duplication_ procezo estas la kaŭzo kial, al _enumerate_ la dimensiaj eroj de n-kubo, unu devas duopa la unua de paro de nombroj en (linio, vico) de ĉi tiu analoga de Paskala triangulo antaŭ sumanta al liveri la nombro pli sube. La komenca duobliganta tial rendimento la nombro de "originala" eroj al troviĝi en la venonta pli alta n-kubo kaj, kiel antaŭ, novaj eroj estas konstruita sur tiuj de unu malpli dimensio (randoj sur verticoj, (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) sur randoj, kaj tiel plu). Denove, la lasta nombro de (linio, vico) prezentas la nombro de novaj verticoj al esti adiciita al generi la venonta pli alta n-kubo.

En ĉi tiu triangulo, la (sumo, sumi) de la eroj de (linio, vico) m estas egala al 3^m-1. Denove, al uzi la eroj de (linio, vico) 5 kiel ekzemplo: $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81$ , kiu estas egala al $34 = 81$ .

[redaktu] Paskala triangulo kaj la matrica eksponenta funkcio

Duterma matrico kiel matrica eksponenta funkcio (ilustraĵo por 5×5 matricoj). Ĉiu (punktoj, punktas) prezenti 0.

Pro al ĝia simpla konstruado per (faktorialoj, faktorialas), tre baza prezento de Paskala triangulo en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la matrica eksponenta funkcio povas esti donita: Paskala triangulo estas la eksponenta funkcio de la matrico kiu havas la vico 1, 2, 3, 4, … sur ĝia kromdiagonalo suba kaj nulo ĉie alia. Ĉi tiu aludas al la fama Eŭlera formulo, $e i π = - 1$ , kiu trakonektas la kvar plej baza (konstantoj, konstantas) en unu idento.

[redaktu] Historio

La unua referenco al ĉi tiu triangulo okazas en Hinda matematikisto _Pingala_'s libro sur Sanskrito _poetics_ (tiu, ke, kiu) (majo, povas) esti kiel frua kiel 450 Antaŭ kristo kiel _Meru_-_prastaara_, la "ŝtuparo de Munti _Meru_". La _commentators_ de ĉi tiu libro estis ankaŭ konscia (tiu, ke, kiu) la malprofundaj diagonaloj de la triangulo (sumo, sumi) al la Fibonacci nombroj. Ĝi estis ankaŭ sciata al Ĉinia (matematikistoj, matematikistas). Ĝi estas dirita (tiu, ke, kiu) la triangulo estis (nomita, vokis) "_Yang_ _Hui_'s triangulo" per la Ĉinia. Poste, la Persa matematikisto _Karaji_ kaj la Persa (astronomo, astronomiisto)-poeto Omar Kajjam; tial la triangulo estas referita al kiel la "_Khayyam_ triangulo" en Irano. Kelkaj (teoremoj, teoremas) rilatanta al la triangulo estis sciata, inkluzivanta la duterma teoremo. Fakte ni povas esti honeste certa (tiu, ke, kiu) _Khayyam_ uzita maniero de trovanta n(th, -a) (radikoj, radikas) bazita sur la duterma elvolvaĵo, kaj pro tio sur la dutermaj koeficientoj. Fine, en Italio, ĝi estas referita al kiel "_Tartaglia_'s triangulo", nomis por la Itala algebristo _Niccolo_ _Fontana_ _Tartaglia_ kiu loĝis jarcento antaŭ (Paskalo, Paskala); _Tartaglia_ estas kreditita kun la ĝenerala formulo por solvanta kuba (polinomoj, polinomas).

En moderna (tempoj, tempas), Paskala triangulo prenas ĝia nomo de la _Traité_ _du_ triangulo _arithmétique_ (1655) per Blaise Pascal. En (tiu, ke, kiu) laboro, (Paskalo, Paskala) kolektis kelkaj rezultoj tiam sciata pri la triangulo, kaj (dungis, dungita) ilin al solvi (problemoj, problemas) en teorio de probabloj. La "aritmetika" triangulo estis poste (nomita, vokis) post (Paskalo, Paskala) per _Pierre_ _Raymond_ _de_ _Montmort_ (1708) kaj Abraham _de_ _Moivre_ (1730).