Vikipedio:Projekto matematiko/Triangulo de Sierpinski

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Triangulo de Sierpinski
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Triangulo de Sierpinski

La Triangulo de Sierpinski, ankaŭ (nomita, vokis) la Sierpinski-a _gasket_, estas fraktalo, nomis post _Wacław_ Sierpiński-a. Sierpiński-a demonstraciis (tiu, ke, kiu) ĉi tiu fraktalo estas universala kurbo, en (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) ebla unu-dimensia (grafikaĵo, grafeo), (projekciis, projektita) sur la du-dimensia ebeno, estas homeomorfia al subaro de la Sierpinski-a _gasket_. Por kurboj (tiu, ke, kiu) ne povas esti desegnita sur 2D surfaco sen (mem, sin)-(komunaĵoj, komunaĵas, intersekcoj, intersekcas), la (korespondanta, respektiva) universala kurbo estas la _Menger_ spongulo.

[redaktu] Konstruado

Algoritmo por ricevanta arbitre fermi proksimumaj kalkuladoj al la Triangulo de Sierpinski estas kiel sekvas:

Starti kun (ĉiu, iu) triangulo en ebeno. La kanona Triangulo de Sierpinski uzas egallatera triangulo kun baza paralelo al la horizontala akso (unua bildo).
Ŝrumpi la triangulo per 1/2, fari tri (kopioj, kopias), kaj pozicio la tri (kopioj, kopias) tiel ke ĉiuj triangulaj ektuŝmanieroj la du aliaj trianguloj je angulo (bildo 2).
Ripeti (ŝtupo, paŝi) 2 kun ĉiu de la (pli minuskla, pli malgranda) trianguloj (bildo 3 kaj tiel plu).

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu malfinia procezo estas ne dependa sur la startanta formo estante triangulo - ĝi estas (justa, ĵus) pli klara tien. La unua kelkaj (ŝtupoj, ŝtupas, paŝas) startanta, ekzemple, de kvadrato ankaŭ strebi al Sierpinski-a _gasket_. Miĥaelo Barnsley uzita bildo de fiŝo al ilustri ĉi tiu en lia papero V-(variablo, varianta) (fraktaloj, fraktalas) kaj _superfractals_ (PDF).

La reala fraktalo estas kio devus esti ricevita post malfinia nombro de (ripetoj, ripetas). Pli formale, unu priskribas ĝi en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de funkcioj sur fermitaj aroj de punktoj. Se ni estu $d a$ (tononomo, noto, noti) la _dilation_ per faktoro de 1/2 pri punkto a, tiam la Triangulo de Sierpinski kun anguloj a, b, kaj c estas la (fiksis, neŝanĝebligita) aro de la transformo $d a$ U $d b$ U $d c$ .

Ĉi tiu estas alloga (fiksis, neŝanĝebligita) aro, tiel ke kiam la operacio estas aplikita al (ĉiu, iu) alia aro multfoje, la bildoj konverĝi sur la Triangulo de Sierpinski. Ĉi tiu estas kio estas okazanta kun la triangulo pli supre, sed (ĉiu, iu) alia aro devus sufiĉi.

Se unu prenas punkto kaj aplikas ĉiu de la (transformoj, transformas) $d a$ , $d b$ , kaj $d c$ al ĝi hazarde, la rezultantaj punktoj estos esti densa en la Triangulo de Sierpinski, (do, tiel) jena algoritmo estos denove generi arbitre fermi proksimumaj kalkuladoj al ĝi:

Starti per (etikedanta, markanta) p₁, p₂ kaj p₃ kiel la anguloj de la Triangulo de Sierpinski, kaj hazarda punkto v₁. Aro v_n+1 = &_frac12_; ( v_n + pr_n ), kie r_n estas hazarda nombro 1, 2 aŭ 3. Desegni la punktoj v₁ al v_∞. Se la unua punkto v₁ estis punkto sur la Triangulo de Sierpinski, tiam ĉiuj punktoj v_n (mensogi, kuŝi) sur la Triangulo de Sierpinski. Se la unua punkto v₁ al (mensogi, kuŝi) en la perimetro de la triangulo estas ne punkto sur la Triangulo de Sierpinski, neniu de la punktoj v_n estos (mensogi, kuŝi) sur la Triangulo de Sierpinski, tamen ili estos konverĝi sur la triangulo. Se v₁ estas ekster la triangulo, la nur vojo v_n estos lando sur la reala triangulo, estas se v_n estas sur kio devus esti parto de la triangulo, se la triangulo estis malfinie granda.

Aŭ pli simpla:

Preni 3 punktoj en ebeno, starti je unu de la punktoj.
Hazarde (apartigi, elekti) (ĉiu, iu) de la alia tri punktoj kaj movi duono la distanco de la unua punkto al (tiu, ke, kiu) punkto. Grafika prezento la aktuala pozicio.
Ripeti de (ŝtupo, paŝi) 2.

[redaktu] Propraĵoj

La Triangulo de Sierpinski havas Dimensio de Hausdorff logo(3)/logo(2) ≈ 1.585, kiu sekvas de la fakto (tiu, ke, kiu) ĝi estas unio de tri (kopioj, kopias) de sin, ĉiu (krustis, skalita) per faktoro de 1/2.

Se unu prenas Paskala triangulo kun 2ⁿ (linioj, vicoj, linias, vicas) kaj (koloroj, koloras, kolorigas) la (eĉ, ebena, para) nombroj blanka, kaj la neparaj nombroj nigra, la rezulto estas proksimuma kalkulado al la Triangulo de Sierpinski.

La areo de Triangulo de Sierpinski estas nulo (en Lebega mezuro). Ĉi tiu povas estas vidita de la malfinia ripeto, kie ni forpreni 25% de la areo (maldekstre, restis) je la antaŭa ripeto.

[redaktu] Analogoj en pli alta dimensio

La _tetrix_ estas la tri-dimensia analoga de la Triangulo de Sierpinski, (formita, formularita, knedita) per multfoje ŝrumpanta regula kvaredro al duona ĝia originala alto, metanta kune kvar (kopioj, kopias) de ĉi tiu kvaredro kun anguloj tuŝanta, kaj tiam ripetanta la procezo.

Sierpinski-a piramido kaj ĝia 'inverso'

[redaktu] (Mem, Sin)-asembleo kun DNA

(Esploristoj, Esploristas) en _Erik_ _Winfree_'s _lab_ je la Kalifornia Instituto de Teknologio havi ankaŭ konstruis (mem, sin)-(asembleanta, muntanta) Triangulo de Sierpinskas uzanta DNA (kaheloj, kahelas) (_Rothemund_ _et_ _al_. 2004).

[redaktu] Komputila Programo

Komputilaj programoj al desegni Triangulo de Sierpinskas estas kutime farita rekursie en programlingvoj (tiu, ke, kiu) (konsenti, permesi) eksplicita rekursio kiel Ĝavo. <antaŭ>importi ĝavo._awt_.*; importi ĝavo.apleto.*;

publiki klaso _SierpinskiTriangle_ etendas Apleto {

privata Grafiko g;
privata _int_ _dMin_=4; // limigo al rekursio en (rastrumeroj, rastrumeras)

publiki dezerteco (farbo, kolorilo, kolorigilo, pentri)(Grafiko g) {
ĉi tiu.g = g;
_int_ d = 1024; // bazo (larĝo de la triangulo)
_int_ _x0_ = 50; // distanco de la (maldekstre, restis)
_int_ _y0_ = 50; // distanco de la supro
_int_ h = (_int_)(d*Math.rad(3)/2); // alto
// (do, tiel): taŭgi por egallatera triangulo
_int_ _xA_=_x0_, _yA_=_y0_+h; // (fundo-(maldekstre, restis))
_int_ _xB_=_x0_+d, _yB_=_y0_+h; // (fundo-(ĝusta, dekstra, rajto))
// _int_ _xB_=_x0_, _yB_=_y0_; // (supro-(maldekstre, restis))
// _int_ _xB_=_x0_+d, _yB_=_y0_; // (supro-(ĝusta, dekstra, rajto))
_int_ _xC_=_x0_+d/2, _yC_=_y0_; // egallatera triangulo (supro-centro)
// _int_ _xC_=_x0_, _yC_=_y0_; // (ĝusta, dekstra, rajto) triangulo, orto je A
// (supro-(maldekstre, restis))
// _int_ _xC_=_x0_+d, _yC_=_y0_; // (ĝusta, dekstra, rajto) triangulo, orto je B
// (supro-(ĝusta, dekstra, rajto))
_int_[] x = { _xA_, _xB_, _xC_ };
_int_[] y = { _yA_, _yB_, _yC_ };

_drawSierpinskiTriangle_( x, y, d/2 ); // starti rekursio
}

privata dezerteco _drawSierpinskiTriangle_ ( _int_[] x, _int_[] y, _int_ d ) {
se (d<=_dMin_) g._fillPolygon_ ( x, y, 3 ); // fundo de la rekursio
alia {
// centroj de la flankoj:
_int_ _xMc_ = (x[0]+x[1])/2, _yMc_ = (y[0]+y[1])/2;
_int_ _xMb_ = (x[0]+x[2])/2, _yMb_ = (y[0]+y[2])/2;
_int_ _xMa_ = (x[1]+x[2])/2, _yMa_ = (y[1]+y[2])/2;

_int_[] _xNew1_ = { x[0], _xMc_, _xMb_ };
_int_[] _yNew1_ = { y[0], _yMc_, _yMb_ };
_drawSierpinskiTriangle_ ( _xNew1_, _yNew1_, d/2 ); // rekursio

_int_[] _xNew2_ = { x[1], _xMc_, _xMa_ };
_int_[] _yNew2_ = { y[1], _yMc_, _yMa_ };
_drawSierpinskiTriangle_ ( _xNew2_, _yNew2_, d/2 ); // rekursio

_int_[] _xNew3_ = { x[2], _xMb_, _xMa_ };
_int_[] _yNew3_ = { y[2], _yMb_, _yMa_ };
_drawSierpinskiTriangle_ ( _xNew3_, _yNew3_, d/2 ); // rekursio
}
}

}</antaŭ>

[redaktu] Vidi ankaŭ

Tapiŝo de Sierpinski
Paskala triangulo

[redaktu] Referencoj

(Paŭlo, Bono) W. K. _Rothemund_, Noĉo de prestipo _Papadakis_, kaj _Erik_ _Winfree_, Algoritma (Mem, Sin)-Asembleo de DNAj Sierpinski-aj Trianguloj, _PLoS_ Biologio, volumeno 2, (eldoni, eligo) 12, 2004.