Función implícita

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Es función implícita la que no se puede despejar la variable independiente de la variable dependiente.

Un ejemplo de una función implícita seria:

$y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,$

En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra.

[editar] Diferenciación

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez esta en función de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y) \,$ , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ .

Si consideramos $y = f \left ( x \right )$ es una función en términos de la variable independiente x y $G \left ( y \right )$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y = f \left ( x \right )$ , entonces para obtener la derivada:

$D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( x \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )$

[editar] Ejemplo

Obtener la derivada de:

$6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \,$

El término $6 x 2 y$ Se puede considerar que son dos funciones, $6 x 2$ y $y$ por lo que se derivara como un producto:

$D_x \left ( 6x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right )$

El término $5 y 3$ se deriva como:

$D_x \left ( 5y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx}$

El término $3 x 2$ se deriva de forma normal como:

$D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,$

El valor constante 12, que no depende ni de x no de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

$D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,$

Para el término $x 2 y 2$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

$D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right )$

Al unir todos los términos se obtiene:

$12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dx}{dy}$

Ordenando

$6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dx}{dy}= -12xy - 6x- 2xy^2$

Agrupando los valores se obtiene:

$\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right )$

Finalmente despejando $\frac {dy}{dx}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

$\frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y }$

[editar] Véase también

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