Identidad trigonométrica

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En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

Notación: Definimos cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².

Tabla de contenidos

1 De las definiciones de las funciones trigonométricas
2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
3 Identidades del Ángulo Doble
4 Identidades del Ángulo Múltiple
5 Identidades para la Reducción de Exponentes
6 Identidades del Medio Ángulo
7 Paso de Producto a Suma
8 Paso de Suma a Producto
9 Eliminar seno y coseno
10 Funciones Trigonométricas Inversas
11 Fórmula de Euler
12 Teorema del coseno
13 Teorema del seno

[editar] De las definiciones de las funciones trigonométricas

$\tan{x} = \frac {\sin{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}$

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\sin{x}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (tiene radio=1):

$\sin(x) = \sin(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

$\sin(-x) = -\sin(x) \qquad \cos(-x) = \cos(x)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)$

$\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

$a\sin(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)$

sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para resolver problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

tan 2 (x) + 1 = sec 2 (x)

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

cot 2 (x) + 1 = csc 2 (x)

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

$\sin(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \qquad \sin(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\tan^{-2}(x)}}$

$\sin(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}} \qquad \sin(x) = \sqrt{\sec^2(x)-1}$

y análogamente con las restantes.

[editar] Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

$\sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)$

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)$

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

$\sin(\pi \pm x) = \mp\sin(x)$

$\cos(\pi \pm x) = -\cos(x)$

$\tan(\pi \pm x) = \pm\tan(x)$

$\csc(\pi \pm x) = \mp\csc(x)$

$\sec(\pi \pm x) = -\sec(x)$

$\cot(\pi \pm x) = \pm\cot(x)$

Para ángulos complementarios:

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)$

$\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)$

$\csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)$

$\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)$

$\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)$

Para ángulos opuestos:

sin( - x) = - sin(x)

cos( - x) = cos(x)

tan( - x) = - tan(x)

csc( - x) = - csc(x)

sec( - x) = sec(x)

cot( - x) = - cot(x)

[editar] Identidades del Ángulo Doble

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $sin(x + x) = sin(2 x)$ ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando $n = 2$ .

$\operatorname{sin}(2x) = 2 \sin (x) \cos(x)$

$\operatorname{cos}(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)$

$\tan(2x) = \frac{2 \tan (x)} {1 - \tan^2(x)}$

[editar] Identidades del Ángulo Múltiple

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

$\operatorname{cos}(nx)=T_n(\cos(x)).$

Fórmula de De Moivre:

$\operatorname{cos}(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n$

[editar] Identidades para la Reducción de Exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

$\cos^2(x) = {1 + \cos(2x) \over 2}$

$\sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}$

[editar] Identidades del Medio Ángulo

Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).

$\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 + \cos(x)}{2}\right)}$

$\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 - \cos(x)}{2}\right)}$

Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el denominador es 2cos²(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble. La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y simplificando mediante la identidad pitagórica.

$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x) + 1} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$

[editar] Paso de Producto a Suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\sin(x) \sin(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

$\cos(x) \sin(y) = {\sin(y + x) + \sin(y - x) \over 2}$

[editar] Paso de Suma a Producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:

$\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

[editar] Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$\sin{\left( x \right)} = \frac{2 \tan{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)} }$

$\cos{\left( x \right)} = \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}$

[editar] Funciones Trigonométricas Inversas

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

$\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=1-x^2$

$\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=1-x^2$

$\sin^2(\arctan(x))=\frac{x^2}{1+x^2}$

$\cos^2(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$

[editar] Fórmula de Euler

$e^{ix} = cos{\left( x \right) + i sin{\left( x \right)} }$

[editar] Teorema del coseno

En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»

$a^2=b^2+c^2-2bc*\operatorname{cos}(A)$