Relación binaria

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Sea A un conjunto cualquiera; se dice que R es una relación binaria en A si R ⊆ A×A, es decir, si R es un subconjunto del producto cartesiano citado. Como se puede observar, una relación binaria es un caso particular de correspondencia.

[editar] Ejemplo

[editar] Relación entre los elementos de un conjunto

Dado el conjunto A:

$A = \{a, b, c, d \} \,$

y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

En este caso podemos decir:

$a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} c \quad c \mathcal{R} d$

$d \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a$

Como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

[editar] Relación binaria como una correspondencia

También podemos representar una relación binaria como una correspondencia de A sobre A:

$f: A \rightarrow A$

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, esto nos permite emplear la estructura de las correspondencias para estudiar una relación binaria, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.

Considerando una relación binaria como un caso particular de correspondencia.

[editar] Subconjunto del producto cartesiano

Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:

Dado el producto $A \times A$ de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de $A \times A$ que contiene todos los pares de elementos relacionados.

d	(a, d)	(b, d)	(c, d)	(d, d)
c	(a, c)	(b, c)	(c, c)	(d, c)
b	(a, b)	(b, b)	(c, b)	(d, b)
a	(a, a)	(b, a)	(c, a)	(d, a)
A×A	a	b	c	d

Si el producto $A \times A$ es:

$A \times A$	$= \{ \,$	$(a,a), \, (a,b), \, (a,c), \, (a,d),$
		$(b,a), \, (b,b), \, (b,c), \, (b,d),$
		$(c,a), \, (c,b), \, (c,c), \, (c,d),$
		$(d,a), \, (d,b), \, (d,c), \, (d,d)$	$\} \,$

el conjunto R de la relación binaria se representa:

$R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,$

Notese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

[editar] Segundo ejemplo

La divisibilidad podemos considerarla como una relación binaria:

R = {(x, y) ∈ ℤ×ℤ: x divide a y}.

En este caso, diríamos que dos números a y b pertenecientes a los enteros estarían relacionados por R si a divide a b, o dicho más precisamente: a∣b. Otro modo de definir esta relación (y cualquier otra) sería: aRb ↔ a∣b.

[editar] Propiedades

Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:

Reflexiva si xRx (x se relaciona consigo mismo) para todo x ∈ A.
Antirreflexiva si para todo x ∈ A, x no se relaciona consigo mismo.
Simétrica si para todo x, y ∈ A tales que xRy se cumple que yRx.
Antisimétrica si para todo x, y ∈ A tales que xRy e yRx se tiene que x = y.
Transitiva si para todo x, y, z ∈ A tales que xRy e yRz, se cumple que xRz.
Circular si para todo x, y, z ∈ A tales que xRy e yRz, se cumple que zRx.

[editar] Clasificación

Según las propiedades mostradas anteriormente, las relaciones se pueden clasificar en:

Relación de equivalencia: toda relación binaria que sea reflexiva, simétrica y transitiva.
Relación de orden: toda relación binaria que sea reflexiva, antisimétrica y transitiva.