Teoría de gauge

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En física, las teorías de gauge se basan en la idea que las transformaciones de simetría se pueden realizar sólo localmente. Así pues, al "rotar" algo en cierta región, no se determina cómo los objetos rotan en otras regiones.

Una transformación de gauge es así una transformación de un grado de libertad que no modifica ninguna propiedad observable física. Las teorías de gauge se discuten generalmente en el lenguaje matemático de la geometría diferencial.

Si tenemos un fibrado principal cuyo espacio base es el espacio o espacio-tiempo y el grupo de estructura es un grupo de Lie, entonces, el espacio de secciones diferenciables de este fibrado forman un grupo, llamado grupo de transformaciones de gauge. Podemos definir una conexión en este fibrado principal dando una 1-forma A a valores en un álgebra de Lie. A partir de esta 1-forma, podemos construír 2-forma F a valores en la misma álgebra de Lie por

'F = d'A + A ∧ A

donde d es la derivada exterior y ∧ es producto exterior o cuña.

Las transformaciones infinitesimales de gauge forman un álgebra de Lie, que se caracterizada por un escalar diferenciable a valores en un álgebra de Lie, ε. Bajo tal infinitesimal transformación de gauge,

δ_εA = [ ε, A] - dε

donde [.,.] es el corchete de Lie. Una cosa agradable es que si δ_εX = εX, entonces δ_εDX = εDX donde D es la derivada covariante: DX ≡ dX + AX. También, δ_εF = εF, que significa que F se transforma covariantemente. Una cosa a notar es que no todas las transformaciones de gauge pueden ser generadas por transformaciones infinitesimales de gauge en general; por ejemplo, cuando la variedad de base es una variedad compacta sin borde tal que la clase de homotopía de funciones de esa variedad al grupo de Lie es no trivial. Ver instanton para un ejemplo.

La acción de Yang-Mills ahora está dada por

$\frac{1}{4g^2}\int Tr[*F\wedge F]$

donde * vale por el dual de Hodge y la integral se define como en geometría diferencial.

Una cantidad que es invariante bajo transformaciones de gauge es el bucle de Wilson, que se define sobre cualquier trayectoria cerrada, γ, como sigue:

$\chi^{(\rho)}(\mathcal{P}\{e^{\int_\gamma A}\})$

donde ρ es un carácter de una representación compleja; y $\mathcal{P}$ representa al operador de trayectoria ordenada. En las teorías de las interacciones electrodébil y cromodinámica cuántica del modelo estándar de la física de partículas, Lagrangianos de bosones, que median interacciones entre los fermiones, son invariantes bajo transformaciones de gauge. Esta es la razón por la cual estos bosones se llaman bosones de gauge.