Teorema de los números primos
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El teorema de los números primos describe una forma asintótica de la función π(n) que cuenta el número de primos menores que un n dado.
Teorema: Sea π(x) el número de primos que son menores o iguales que x
-
donde ln(x) es el logaritmo neperiano de x.
Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de x muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de x muy grandes es igual a 1.
El teorema de los números primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798 y la conjetura fue posteriormente refinada por Gauss con la expresión que actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. La prueba formal del teorema, la hicieron de forma independiente tanto Jacques-Salomon Hadamard como Charles de la Vallée Poussin en el año 1896. Ambas pruebas se basaban en la demostración de que la función Zeta de Riemann ζ(z) no tiene ceros de la forma (1 + it). En realidad la prueba se hizo sobre una expresión algo más estricta que lo que se indica en la definición anterior del teorema; siendo la expresión demostrada por Hadamard y Poussin la siguiente:
donde
.
Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente siendo la mejor aproximación actual la dada por:
donde O(f(x)) se define como la función asintótica a f(x) y A es una constante indeterminada.
Para valores de x pequeños se había demostrado que π(x) < Li(x), lo que llevó a conjeturar a varios matemáticos en la época de Gauss que Li(x) era una cota superior estricta de π(x) (esto es que la ecuación π(x) − Li(x) = 0 no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 Littlewood demostró que dicha cota es cruzada para valores de x suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes, y actualmente se sabe que es inferior a 10317, aunque se piensa que puede ser inferior incluso a 10176. En 1914 Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación π(x) − Li(x) = 0. Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de Riemann.
