Alkulukulause

Wikipedia

Lukuteoriassa alkulukulause antaa alkulukujen jakauman asympoottisen arvion. Karkeasti ottaen alkulukulauseen mukaan satunnaisesti valittu positiivinen kokonaisluku N on todennäköisyydellä 1 / log N alkuluku, missä log on luonnollinen logaritmi. N:n kasvaessa alkuluvut käyvät yhä harvemmiksi. Esimerkiksi kun N=10 000 , keskimäärin joka yhdeksäs luku on alkuluku, kun taas arvolla N=1 000 000 000 suunnilleen joka 21. luku on alkuluku. Alkulukulause antaa arvion tälle harvenemisnopeudelle.

[muokkaa] Väite

Funktioiden π(x), x / log x ja Li(x) kuvaajat.

Olkoon π(x) lukua x+1 pienempien alkulukujen lukumäärä. Tällöin alkulukulauseen mukaan osamäärän π(x) log(x) / x raja-arvo on 1, kun x kasvaa rajatta. Käyttäen Landaun symbolia, tulos voidaan ilmoittaa muodossa

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}$ .

Tämä ei tarkoita sitä, että näiden funktioiden erotus lähenee nollaa.

Lauseen otaksui Adrien-Marie Legendre vuonna 1796 ja sen todistivat Hadamard ja de la Vallée Poussin toisistaan riippumatta vuonna 1896. Molempien todistus perustui funktioteoriaan, tarkemmin sanottuna he osoittivat, että Riemannin zeeta-funktiolla $ζ(s)$ ei ole nollakohtia kun $R e (s) = 1$ .

[muokkaa] π(x) logaritmisten integraalien avulla

Carl Friedrich Gauss otaksui alkulukulausetta tarkemman asymptoottisen arvion. Määritellään logaritminen integraali Li(x) asettamalla

$\mbox{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln t} \,\mbox{d}t = \mbox{li}(x) - \mbox{li}(2).$

Tästä huomataan, että alkulukujen ”tiheyden” lähellä t:tä tulisi olla 1/logt. Funktion yhteys logaritmiin nähdään asymptoottisesta kehitelmästä

$\mbox{Li}(x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\ln x)^k} = \frac{x}{\ln x} + \frac{x}{(\ln x)^2} + \frac{2x}{(\ln x)^3} + \cdots$

Siten alkulukulause voidaan kirjoittaa myös muodossa π(x) ~ Li(x). Tämän etuna on se, että arvion virhetermiä voidaan pienentää. Hadamard ja de la Vallée Poussin todistivat, että

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\ln x}}\right) \quad\mbox{as } x \to \infty$

jollain positiivisella vakiolla a, missä O(…) iso O notaatio. Arviota on parannettu muotoon

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \, \exp \left( -\frac{A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}} \right) \right).$

Yhteys Riemannin zeetafunktion ja π(x) välillä on niin vahva, että Riemannin hypoteesi parantaisi virhetermin arviota. Helge von Koch osoitti vuonna 1901, että Riemannin hypoteesi on tosi jos ja van jos alkulukulause voidaan kirjoittaa muodossa

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln x\right).$

Vakiota ison O:n sisällä pystyi arvioimaan Lowell Schoenfeld. Riemannin hypoteesin mukaan

$|\pi(x)-{\rm Li}(x)|<\frac{\sqrt x\,\ln x}{8\pi}$

kaikilla x ≥ 2657. Hän osoitti myös samantapaisen arvion Tšebyševin funktiolle ψ:

$|\psi(x)-x|<\frac{\sqrt x\,\ln^2 x}{8\pi}$

kaikilla x ≥ 73,2.

Logaritminen integraali Li(x) on suurempi kuin π(x) kaikilla riittävän pienillä luvuilla x Kuitenkin vuonna 1914 J. E. Littlewood todisti, että lausekkeiden suuruusjärjestys vaihtuu riittävän suurella luvulla. Ensimmäisen kerran tämä tapahtuu kun xon suuruusluokkaa 10³¹⁶.

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../a/l/k/Alkulukulause.html

Luokka: Analyyttinen lukuteoria

Alkulukulause

Wikipedia

[muokkaa] Väite

[muokkaa] π(x) logaritmisten integraalien avulla

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä