Praštevilski izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Praštevilski izrek je v matematiki izrek o asimptotični porazdelitvi praštevil.

Praštevilski izrek v grobem pravi, da če naključno izberemo poljubno število blizu nekega velikega števila n, je verjetnost da bo to število praštevilo enaka 1 / ln n. Na primer za n = 10.000 je približno eno od devetih števil praštevilo, za n = 1.000.000.000 pa je eno praštevilo med 21-timi izbranimi števili.

Razvidno je, da so praštevila porazdeljena naključno, vendar na žalost ne vemo kaj 'naključno' pomeni.

-- R.C. Vaughan (februar 1990).

Leta 1737 je Leonhard Euler vpeljal klasično Euler-Riemannovo funkcijo ζ, določeno za vsa realna števila s večja od 1:

$\zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} {1\over k^{s}} = {1\over 1^{s}} + {1\over 2^{s}} + {1\over 3^{s}} + {1\over 4^{s}} + {1\over 5^{s}} + ... \; ,$

kjer so k pozitivna cela števila. Za števila $s \le 1$ (ali bolje za realni del) je gornja vsota neskončna, tako da $ζ(s)$ za taka števila ni določena. Za vsako število s>1 ima gornja vsota določeno končno vrednost. Pokazal je, da je za vsak tak s vrednost funkcije $ζ(s)$ enaka neskončnemu Eulerjevemu produktu:

$\zeta(s) = {\prod_{p=2 \atop p \in P}^{\infty}} { 1\over 1-{1\over p^{s}}} = { 1\over 1-{1\over 2^{s}}} \cdot { 1\over 1-{1\over 3^{s}}} \cdot { 1\over 1-{1\over 5^{s}}} \cdot { 1\over 1-{1\over 7^{s}}} \cdot { 1\over 1-{1\over 11^{s}}} \cdot { 1\over 1-{1\over 12^{s}}} \cdot ... \; .$

Prednost produkta je v tem, da ne vsebuje ničel v polravnini. Njegov rezultat je presenetljiv, saj povezuje funkcijo $ζ(s)$ z neskončno množico praštevil P, osnovnih gradnikov števil. Praštevila so prisotna v analizi, ki je odraz neskončne narave matematike. Infinitezimalni račun, Newtonovi polinomi, funkcija Γ in funkcija $ζ$ funkcija vse sodijo v analizo. Funkcionalno enakost funkcije $ζ(s)$ je Euler odkril leta 1761. Funkcija:

${1\over \sqrt \pi^2} \Gamma({s\over 2}) \zeta (s) \;$

ostaja nespremenjena, kadar s zamenjamo z 1 - s. Pomena enakosti ne moremo videti neposredno, ker so funkcije določene v samostojnih polravninah ločenih s kritičnim trakom. Trak vsebuje kompleksna števila katerih realni deli ležijo natančno med 0 in 1. To pomeni da imata tako dve funkciji naravni nadaljevanji preko mej traku in ti dve sta enaki. Za funkcijo $ζ(s)$ velja funkcionalna enačba:

$\zeta(s) = 2^{s} \pi^{s-1} \sin \left({\pi s\over 2}\right) \Gamma (s-1) \zeta(1-s) \; ,$

za vse s iz $\mathbb{C}$ - {0,1}. S to enačbo si pomagamo pri analitičnem nadaljevanju. Pri s = 1 ima funkcija $ζ(s)$ enostavni pol z ostankom 1. Euler je lahko izračunal $ζ(2 k)$ za vsako sodo celo število 2k z enačbo:

$\zeta(2k) = { B_{2k}(2\pi)^{2k}\over 2(2k)!} \; ,$

kjer so $B 2 k$ Bernoullijeva števila. Od tu vidimo, da je $ζ(2) = π 2 / 6$ , $ζ(4) = π 4 / 90$ , $ζ(6) = π 6 / 945$ , $ζ(8) = π 8 / 9450$ , $ζ(10) = π 10 / 93555$ in tako naprej. Te vrednosti nam dajo znane neskončne vrste za π. Euler je podal vrednosti za $ζ(2)$ do $ζ(26)$ za sode n. Thomas Joannes Stieltjes je leta 1887 podal na 30 števk natančno vrednosti za $ζ(2)$ do $ζ(70)$ . Števci $ζ(2 n)$ za n=1,2,3,... tvorijo zaporedje {6, 90, 945, 9450, 93555, 638512875, ...}. Primeri za liha cela števila pa niso tako enostavni. Srinivasa Aiyangar Ramanujan je z velikim uspehom raziskoval tudi takšne primere. Za n > 1 in $n \equiv 3 ({\rm mod} \; 4)$ velja na primer:

${\zeta(n)} = {2^{n-1}\pi^{n}\over (n+1)!} \sum_{k=0}^{(n+1)/2} (-1)^{k-1} {n+1\choose 2k} B_{n+1-2k}B_{2k} - 2 \sum_{k=1}^{\infty} {1\over k^{n}(e^{2\pi k}-1)} \; ,$

kjer je ${n\choose k}$ binomski koeficient. Našli so še druge enačbe za nekatere lihe n.

Sorodni izrek za harmonično vrsto recipročnih vrednosti naravnih števil:

$H(n) = \sum_{k=1}^{\infty} {1\over k} = {1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + {1\over 4} + {1\over 5} + {1\over 6} + {1\over 7} + ... \;$

nam pove, da vrsta nima končne vsote in podobno divergira kot $ln n$ . Euler je poznal ta izrek in je pokazal, da velja:

$H(n) \sim \ln n$

$H(n) - \ln n \sim \gamma \; ,$

kjer je $γ$ ≈ 0,57721 56649 Euler-Mascheronijeva konstanta. Euler se je spraševal za praštevilsko harmonično vrsto, ki jo dobimo če seštejemo recipročne vrednosti vseh praštevil:

$P(p) = \sum_{p=1 \atop p \in P}^{\infty} {1\over p} = {1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + {1\over 5} + {1\over 7} + {1\over 11} + {1\over 13} + ... \;$

Ali ima sedaj $P (p)$ končno ali neskončno vsoto? Naravni način odgovora na vprašanje je delitev harmonične vrste na dva dela: tistega, ki vsebuje vsa praštevila in preostanek harmonične vrste:

$\left[{1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + {1\over 5} + {1\over 7} + {1\over 11} + {1\over 13} + ... \right] + \left[{1\over 4} + {1\over 6} + {1\over 8} + {1\over 9} + {1\over 10} + {1\over 12} + {1\over 14} + ...\right] \;$

Potem poskušamo pokazati, da ima drug del končno vsoto. To bi pomenilo, da prvi del povzroča, da ima harmonična vrsta $H (n)$ neskončno vsoto. Prvi del je praštevilska harmonična vrsta in bi tako imela neskončno vsoto. To je dobra zamisel, vendar naletimo na nepričakovano težavo. Ker harmonična vrsta divergira, je ne moremo na ta način deliti. Euler se je lotil težave drugače. Vzemimo neko celo realno število s malo večje od 1 in namesto, da opazujemo harmonično vrsto $H (n)$ , opazujmo raje sorodno vrsto $ζ(s)$ . Ker smo vzeli s večji od 1, ima ta vrsta končno vsoto in jo zato lahko delimo na dva končna dela: tistega, ki vsebuje vsa praštevila in tistega, ki vsebuje vsa sestavljena števila:

$\zeta(s) = \left[ {1\over 1^{s}} + {1\over 2^{s}} + {1\over 3^{s}} + {1\over 5^{s}} + {1\over 7^{s}} + {1\over 11^{s}} + {1\over 13^{s}} + ...\right] + \left[{1\over 4^{s}} + {1\over 6^{s}} + {1\over 8^{s}} + {1\over 9^{s}} + {1\over 10^{s}} + {1\over 12^{s}} + {1\over 14^{s}} + ... \right] \; .$

Potem poskušamo pokazati, da če približujemo s vedno bližje 1, bo prva vsota:

${1\over 1^{s}} + {1\over 2^{s}} + {1\over 3^{s}} + {1\over 5^{s}} + {1\over 7^{s}} + {1\over 11^{s}} + {1\over 13^{s}} + ...$

naraščala preko vsake meje in pri s = 1 bo praštevilska harmonična vrsta:

$P(p) = \sum_{p=1 \atop p \in P}^{\infty} {1\over p} = {1\over 1} + {1\over 2} + {1\over 3} + {1\over 5} + {1\over 7} + {1\over 11} + {1\over 13} + ... \;$

imela neskončno vsoto. Pri preučevanju $ζ(s)$ je Euler zasledoval podobno enačbo vsote geometrijske vrste:

${1\over 1-x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + ... \quad (0<x<1) \; .$

Za vsako praštevilo p in vsak s > 1 lahko zapišemo $x = 1 / p s$ kot:

${ 1\over 1-\left({1\over p}\right)^{s} } = { 1\over p^{1} } + { 1\over p^{s} } + { 1\over p^{2s} } + { 1\over p^{3s} } + { 1\over p^{4s} } + { 1\over p^{5s} } + ... \; .$

Izraz na levi strani je seveda izrazit člen v Eulerjevemu neskončnemu produktu in nam zgornja enačba zagotavlja neskončno vsoto za vsak člen v neskončnem produktu. Euler je naprej pomnožil vse te neskončne vsote, da bi dobil drugačno obliko svojega neskončnega produkta. Z uporabo običajnih algebrskih pravil za množenje (končnega števila končnih) vsot na neskočno mnogo neskončnih vsot lahko vidimo, če izpišemo desno stran kot eno neskončno vsoto, bodo njeni izrazi oblike:

$1\over p_1^{k_1 s} ... p_n^{k_n s} \; ,$

kjer so $p 1,..., p n$ različna praštevila in $k 1,..., k n$ pozitivna cela števila in vsaka njihova kombinacija nastopi natanko enkrat. Po osnovnem izreku algebre lahko vsako pozitivno celo število izrazimo v obliki $p_1^{k_1 s} ... p_n^{k_n s}$ . Zaradi tega je desna stran preureditev vsote:

${1\over 1^{s}} + {1\over 2^{s}} + {1\over 3^{s}} + {1\over 4^{s}} + {1\over 5^{s}} + {1\over 6^{s}} + ... \; ,$

oziroma $ζ(s)$ . Eulerjeva enačba neskončnega produkta za $ζ(s)$ označuje začetek analitične teorije števil.

Leta 1837 je Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet posplošil Eulerjevo metodo za dokaz ali v vsakem aritmetičnem zaporedju $a, a + k, a + 2 k, a + 3 k,...$ , kjer a in k nimata skupnega faktorja (sta si tuja, oziroma relativno praštevili), obstaja neskončno število praštevil. Na Evklidov izrek lahko gledamo kot na poseben primer tega za aritmetično zaporedje 1,3,5,7, ... vseh lihih celih števil. Dirichlet je za to priložnost posplošil Euler-Riemannovo funkcijo $ζ$ tako, da so vsa praštevila ločena v posamične razrede glede na to, kakšen ostanek imajo pri deljenju s k. Njegova modificirana funkcija ζ ima obliko:

$L(s,\chi) = \sum_{k=1}^\infty {\chi(k) \over {k^{s}} } = {\chi(1) \over {1^{s}} } + {\chi(2) \over {2^{s}} } + {\chi(3) \over {3^{s}} } + {\chi(4) \over {4^{s}} } + {\chi(5) \over {5^{s}} } + ... \; ,$

kjer je $χ(n)$ posebna oblika funkcije, ki jo je Dirichlet imenoval »karakter«, in ta deli praštevila na zahtevan način. Posebej velja $χ(m n) = χ(m)χ(n)$ za vsak $m, n$ . Druga pogoja sta še, da je $χ(n)$ odvisna le od ostanka pri deljenju n s k in $χ(n) = 0$ , če imata n in k skupni faktor. Vsaka funkcija oblike $L (s,χ)$ , kjer je realno število s > 1 in $χ$ karakter, je znana kot Dirichletova L-vrsta. Euler-Riemannova funkcija $ζ$ je poseben primer, ki nastane, če vzamemo $χ(n) = 1$ za vse n. Matematiki so posplošili spremenljivko s in števila $χ(n)$ v kompleksno področje in s posplošeno obliko dokazali veliko lastnosti praštevil in tako pokazali, da so L - vrste zelo močno orodje pri študiju praštevil. Ključni rezultat o L - funkcijah je ta, da jih lahko skupaj z $ζ(s)$ izrazimo kot neskončni produkt preko praštevil (Eulerjev produkt):

$L(x,\chi) = {\prod_{p=2 \atop p \in P}^{\infty}} { 1\over 1-{\chi(p)\over p^{s}} } = { 1\over 1-{\chi(2)\over 2^{s}} } \cdot { 1\over 1-{\chi(3)\over 3^{s}} } \cdot { 1\over 1-{\chi(5)\over 5^{s}} } \cdot { 1\over 1-{\chi(7)\over 7^{s}} } \cdot { 1\over 1-{\chi(11)\over 11^{s}} } \cdot ... \; ,$

kjer je realni del s pozitiven.

Med prvimi desetimi števili je kar polovica praštevil, med prvimi 1000 pa le približno 1/6. Zdi se, da ni kakšnega splošnega pravila, po katerem bi bila praštevila razporejena med naravnimi števili. Med 9 999 900 in 10 000 000 je na primer 9 praštevil. med 10 000 000 in 10 000 100 pa le 2, in sicer 10 000 019 in 10 000 079. Obstajajo celo poljubno dolgi odseki zaporednih naravnih števil, med katerimi ni nobenega praštevila. Za poljuben n med številoma $n! + 2$ in $n! + n$ ni nobenega praštevila. Matematiki menijo, da so praštevilski dvojčki razporejeni povsem slučajno. Celo tega ne vemo, ali je praštevilskih dvojčkov končno mnogo ali jih je neskončno.

Praštevilski izrek govori o asimptotičnem obnašanju aritmetične funkcije $π(ξ)$ , števila praštevil manjših ali enakih $ξ$ . Adrien-Marie Legendre je leta 1798 v knjigi Esai sur la Theorie des Nombres objavil ugotovitev za velike $ξ$ :

$\pi(\xi) \sim {n\over {A \ln n + B}} \; ,$

z A = 1 in B = -1,08366, ki se včasih imenuje Legendrova konstanta. Pomagal si je z Eratostenovim sitom in je do tega rezultata prišel povsem empirično na podlagi preučevanja tabel praštevil, manjših od 400 000. Zato število B ni kaj posebnega. Legendre ga je enostavno izbral tako, da je dobil kar najboljši približek. Medtem ko je Legendre pripravljal svojo knjigo, je funkcijo $π(ξ)$ preučeval tudi štirinajstletni Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Leta 1792 je kot 15-leten zapisal (objavil pa šele leta 1863):

$p \; \hbox{pod} \;\; \xi \, (= \infty) {\xi\over \hbox{l} \, \xi} \; .$

Če »praštevila pod $ξ$ « nadomestimo z enakovredno vrednostjo $π(ξ)$ , znak l $ξ$ z $lnξ$ in $(= \infty)$ z besedilom za velike $ξ$ , dobimo njegovo mladostno oceno:

$\pi(\xi) \sim {\xi\over \ln \xi} \quad \hbox{za velike} \;\; \xi \; ,$

z deljenjem s $ξ$ pa obliko praštevilskega izreka. Očitno je mladi Gauss že razumel to lastnost praštevil, zakaj pa je ni razvil, najverjetneje ne bomo nikoli izvedeli. Na Božič 1849 je v pismu Enckeju zapisal:

Kot deček sem preučeval problem koliko praštevil je do dane točke. Iz svojih preračunov sem ugotovil, da je gostota praštevil okoli x približno

1 / log x

Pozneje je domneval, da velja praštevilski izrek:

$\pi(\xi) \sim {\rm Li}(\xi) = \int_2^{\xi} {dt\over \ln t} \; ,$

kjer je Li $(ξ)$ neelementarna funkcija logaritemski integral ali integralski logaritem li $(x)$ brez Cauchyjeve glavne vrednosti (CGV). Logaritemski integral v kompleksnem je določen z:

${\rm li}(z) \equiv \int_{0}^z {dt\over \ln t} \quad \hbox{(za}\quad z>1 \; ,)$

Logaritemski integral v praštevilskem izreku je določen tako, da velja Li $(2) = 0$ :

${\rm Li}(\xi) \equiv \int_2^{\xi} {dt\over \ln t} = {\rm li}(\xi) - {\rm li}(2) \approx {\rm li}(\xi) - 1,045163780 = {\rm ei} (\ln \xi) \; ,$

kjer je ei $(ξ)$ eksponentni integral. Da se ognemo singularni vrednosti v točki 1, včasih vzamemo konstanto, označeno s c ali $μ > 1$ tako, da velja:

$CGV \int_0^\mu {1\over \ln t} dt = 0 \; .$

Tako lahko pri $ξ > 1$ zamenjamo CGV $\int_0^{\xi} 1/\ln t dt$ z $\int_{\mu}^{\xi} 1/\ln t dt$ . Ta način je prvi uporabil Ramanujan in se sedaj $μ$ ≈ 1.4513692348... imenuje Ramanujan-Soldnerjeva konstanta ali Soldnerjeva konstanta in predstavlja ničlo enačbe li $(ξ) = 0$ . Ramanujan je dobil vrednost $μ$ ≈ 1.451363380... Ta konstanta se pojavlja v naslednji obliki praštevilskega izreka:

$\pi(\xi) = \sum_{n=1}^{\infty} {\mu(n)\over n} \int_{\mu}^{\xi} {dt\over \ln t} \; ,$

kjer je $μ(m)$ Möbiusova multiplikativna aritmetična funkcija.

Funkcija Li $(ξ)$ ima glavni člen $n/\ln \,n$ in je boljši priblišek od njega samega. Leta 1851 je Pafnuti Lvovič Čebišov dokazal, da če $π(ξ) / (ξ / lnξ)$ res teži k limiti ko $ξ$ pobegne v neskončnost, potem mora biti limita enaka 1. Ni pa mogel pokazati, da ta limita res obstaja.

Naslednja tabela kaže kako se obnašajo tri funkcije (π(ξ), ξ/ln(ξ) in Li(ξ)):

ξ	π(ξ)	π(ξ) - ξ/ln(ξ)	Li(ξ) - π(ξ)	ξ/π(ξ)
10¹	4	0	2	2,500
10²	25	3	5	4,000
10³	168	23	10	5,952
10⁴	1.229	143	17	8,137
10⁵	9.592	906	38	10,430
10⁶	78.498	6.116	130	12,740
10⁷	664.579	44.159	339	15,050
10⁸	5.761.455	332.774	754	17,360
10⁹	50.847.534	2.592.592	1.701	19,670
10¹⁰	455.052.511	20.758.029	3.104	21,980
10¹¹	4.118.054.813	169.923.159	11.588	24,280
10¹²	37.607.912.018	1.416.705.193	38.263	26,590
10¹³	346.065.536.839	11.992.858.452	108.971	28,900
10¹⁴	3.204.941.750.802	102.838.308.636	314.890	31,200
10¹⁵	29.844.570.422.669	891.604.962.452	1.052.619	33,510
10¹⁶	279.238.341.033.925	7.804.289.844.392	3.214.632	35,810
4 · 10¹⁶	1.075.292.778.753.150	28.929.900.579.949	5.538.861	37,200

Kot posledica praštevilskega izreka dobimo asimptotično oceno za nto praštevilo p(n):

$p(n)\sim n\ln(n).$

Vidimo lahko tudi, da bo naključno izbrano število n praštevilo z verjetnostjo 1/ln(n).

Leta 1896 sta neodvisno drug od drugega Charles de la Vallée Poussin in Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) dokazala praštevilski izrek, trditev, ki je bila razvidna že iz dotedanjih izračunov. Dokazala sta, da se z »naraščajočim n vrednost izraza $n / ln n$ bolj in bolj približuje funkciji $π(ξ)$ «. Pokazala sta da $ζ(s)$ nima nobenih ničel oblike $1 + i t$ , s tem, da za dokaz ni potrebno poznavanje drugih lastnosti $ζ(s)$ . Ta blesteči rezultat je enkrat za vselej in nedvoumno pokazal, da so praštevila razporejena po vzorcu, ki ga je možno opisati z matematičnimi sredstvi. Na njuno delo je močno vplival pomemben, čeprav komaj osem strani dolg članek Bernharda Riemanna iz leta 1859 O številu praštevil, manjših od dane vrednosti (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse). To edino Riemannovo delo iz teorije števil je izredno pomembno, saj je z izvirnimi postopki preučevanja naravnih števil odkril mnoge nove zakonitosti. Te metode uporabljajo še danes. Ključni prijem, ki ga je Riemann vpeljal pri preučevanju porazdelitve praštevil, je razširitev funkcije $ζ(s)$ . Euler je določil funkcijo le za realna števila, ki so večja od 1. Riemann pa je Eulerjevo določitev razširil na vsa kompleksna števila $s = a + b i$ (z izjemo števila s = 1). Pri tem moramo uporabiti analitično nadaljevanje funkcije. Razširjena funkcija $ζ(s)$ je določena kot krivuljni integral:

$\zeta(s) = {\Pi(-s)\over 2\pi i}\int_{C} {(-x)^{s}\over e^{x}-1} {dx\over x}\; ,$

pri čemer poteka krivulja C od $+\infty$ vzdolž realne osi, se tik pred izhodiščem ustavi, ga enkrat obkroži v nasprotni smeri urnega kazalca in se spet po realni osi vrne v $+\infty$ . Za vsak s > 0, pa je:

$\Pi(s) = \lim_{N \to \infty} {N!\over (s+1)(s+2)...(s+N)} {(N+1)^{s}}\; .$

Riemannova razširitev funkcije $ζ$ , imenovana tudi Riemannova funkcija ζ, je ključna za teorijo števil. Riemann je ugotovil, da je vrednost funkcije $ζ(s)$ za števila $S = - 2, - 4, - 6, - 8,...$ enaka 0. Pravimo, da so negativna soda cela števila ničle Riemannove funkcije $ζ$ . Nadalje je ugotovil, da obstaja še neskončno mnogo kompleksnih števil s, za katere je $ζ(s) = 0$ , in da je realni del vseh takih števil med 0 in 1. Vsa taka števila s so oblike $a + b i$ , pri čemer je $0 < a < 1$ . Riemannova domneva govori o netrivialnih kompleksnih ničlah Riemannove funkcije $ζ$ . Riemann je domneval, čeprav je poznal komaj kakšno kompleksno ničlo te funkcije, da je realni del vseh kompleksnih ničel funkcije $ζ(s)$ enak $1\over 2$ . Če je torej $ζ(s) = 0$ in s sodo pozitivno število, potem je po njegovi domnevi $s={1\over 2} + bi$ za kakšno realno število b.

Še boljša aproksimacija in ocena napake je dana z enačbo:

$\pi(\xi) = {\rm Li} (\xi) + O \left(\xi e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln(\xi)}}\right)$

za $ξ$ → ∞, kjer je $O$ zapis Landauov simbol. Helge von Koch je leta 1901 dokazal, da je Riemannova domneva enakovredna naslednji močnejši obliki praštevilskega izreka, ko $\xi\to\infty$ :

$\pi(\xi) = {\rm Li} (\xi) + O \left(\sqrt\xi \ln\xi\right) \; ,$

Če velja Riemannova domneva je tukaj ocena napake še boljša kot zgoraj, kakšna pa je konstanta v $O$ zapisu, pa ne vemo. Ta povezava med številom praštevil in med ničlami kompleksne analitične funkcije je nabila ozračje matematike na začetku 20. stoletja. Kot je leta 1932 zapisal Ingham:

Rešitev [zgornje enačbe] ... bo verjetno neuspešna, ker prinaša zamisli, ki so zelo drugačne od izvirnega problema. Naravno se je vprašati po dokazu praštevilskega izreka, ki ni odvisen od funkcij kompleksne spremenljivke ... Kakor zgleda bo nemogoče najti pristen dokaz z 'realnimi spremenljivkami'.

Ingham je menil, da mora vsak dokaz vsebovati kompleksno analizo. Kako se je motil (kot tudi Hardy, Bohr in mnogi drugi). Leta 1949 sta Atle Selberg in Paul Erdös delno neodvisno pokazala elementarni dokaz praštevilskega izreka.

Riemannova funkcija $ζ$ je določena tudi z Dirichletovo vrsto, kjer je $ζ(s)$ prototip, ki generira konstantno aritmetično funkcijo $f (n) = 1$ za vse n:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n) {1\over n^{s}} \; .$

Kvadrat Euler-Riemannove funkcije $ζ(s)$ generira funkcijo število deliteljev $τ(n)$ :

$\zeta(s)^{2} = \sum_{n=1}^{\infty} {\tau(n)\over n^{s}} \; .$

Obratna vrednost Euler-Riemannove funkcije $ζ(s)$ generira Möbiusovo aritmetično funkcijo $μ(n)$ :

${1\over\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} {\mu(n)\over n^{s}} \;$

ali Mertensovo funkcijo:

$\frac{1}{\zeta(s)} = s \int_1^{\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}} dx \; .$

V splošnem velja, da če dve Dirichletovi vrsti $L (s,χ)$ in $M (s,χ)$ generirata aritmetični funkciji $f (n)$ in $g (n)$ , potem njun produkt $f (n) g (n)$ generira novo aritmetično funkcijo:

${h(n)} = \sum_{d\mid n} f(d) g\left({n\over d}\right) \; ,$

in se imenuje Dirichletov produkt dveh aritmetičnih funkcij $f (n)$ in $g (n)$ . Dirichletov produkt dobimo, če pomnožimo dve Dirichletovi vrsti in preuredimo člene:

$L(s,\chi)M(s,\chi) = \sum_{n=1}^{\infty} {f(n)\over n^{s}} \sum_{m=1}^{\infty} {g(m)\over m^{s}} =$

$\qquad\qquad\qquad\;\; = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} {f(n)g(m)\over (n m)^{s}} = \sum_{k=1}^{\infty} {h(k)\over k^{s}} \; ,$

kjer je:

$h(k) = \sum_{nm=k} f(n)g(m) = \sum_{d\mid k} f(d) g\left({k\over d}\right) \; .$

Enačba velja kadar vrsti $L (s,χ)$ in $M (s,χ)$ absolutno konvergirata. S produktom Dirichletovih vrst lahko generiramo veliko aritmetičnih funkcij v multiplikativni teoriji števil. Na primer:

${\zeta(s-1)\over \zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} {\varphi(n)\over n^{s}}$

$\zeta(s)\zeta(s-\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} {\sigma_{\alpha}(n)\over n^{s}} \; .$

V aditivni teoriji števil za generativne funkcije uporabimo raje potenčne vrste. Funkcija $A (χ)$ z razvitjem v potenčno vrsto:

$A(\chi) = \sum_{n=0}^{\infty} a(n) {\chi}^{n}$

generira koeficiente $a (n)$ . Če $B (χ)$ generira koeficiente $b (m)$ tako, da je:

$B(\chi) = \sum_{m=0}^{\infty} b(m) {\chi}^{m} \; ,$

potem je za vse tiste $χ$ , za katere obe vrsti absolutno konvergirata, njun produkt:

$A(\chi) B(\chi) = \sum_{n=0}^{\infty} a(n) {\chi}^{n} \sum_{m=0}^{\infty} b(m) {\chi}^{m} = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} a(n) b(m) {\chi}^{n+m} = \sum_{k=0}^{\infty} c(k) {\chi}^{k} \; ,$

kjer je:

$c(k) = \sum_{n+m=k}^{\infty} a(n) b(m) \; .$

Novo zaporedje se imenuje Cauchyjev produkt dveh zaporedij $a (n)$ in $b (m)$ . Na primer naj je $a (n) = 1$ , če je n kvadrat, drugače pa $a (n) = 0$ , tako, da je:

$A(\chi) = 1 + \chi + \chi^{4} + \chi^{9} + \chi^{16} + ... + \chi^{n^2} + ... \; .$

Tako $A (χ)$ vsebuje člene, ki so kvadrati. Kvadrat $A (χ)$ je dan z vrsto:

$A(\chi)^{2} = 1 + 2\chi + \chi^{2} + 2\chi^{4} + 2\chi^{5} + \chi^{8} + 2\chi^{9} + ... + b(n)\chi^{n} + ... \; ,$

kjer je $b (n)$ število načinov, s katerimi lahko izrazimo n kot vsoto dveh kvadratov pozitivnih celih števil, če upoštevamo vrstni red seštevancev. Četrta potenca pa je:

$A(\chi)^{4} = 1 + 4\chi + 6\chi^{2} + 4\chi^{3} + 5\chi^{4} + 12\chi^{5} + ... + c(n)\chi^{n} + ... \; ,$

kjer je $c (n)$ število načinov, s katerimi lahko izrazimo n kot vsoto štirih kvadratov pozitivnih celih števil. Obstaja, na primer, natanko 6 načinov, da zapišemo 2 kot vsoto štirih pozitivnih kvadratov:

$2 = 1+1+0+0 = 1+0+1+0 = 1+0+0+1 = 0+1+0+1 = 0+1+1+0 = 0+0+1+1 \; ,$

zato je $c (2) = 6$ . Euler je opazil, da je Lagrangeev izrek štirih kvadratov enakovreden izjavi, da je $c (n)$ pozitiven za vsak n, ni pa uspel dokazati, da je $c (n) > 0$ . Če so dovoljeni za seštevance tudi kvadrati negativnih celih števil, je število predstavitev celega števila kot vsota kvadratov precej večje. Če so, na primer, dovoljeni kvadrati -1, obstaja 24 različnih načnov zapisa 2 kot vsote štirih kvadratov. Število predstavitev celega števila n kot vsote k kvadratov celih števil (pozitivnih, negativnih ali ničle) označimo z $r k (n)$ . Njegova generativna funkcija je:

$\Theta(\chi)^{k} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} r_{k}(n) {\chi}^{n} \; ,$

kjer je funkcija $Θ(χ)$ določena z neskončno vrsto:

$\Theta(\chi) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} {\chi}^{m^2} \; .$

Za primer $r 2 (n)$ glej zgoraj. Jacobi je pokazal, da lastnosti funkcije $Θ(χ)$ vodijo k podatkom, ki se nanašajo na predstavitve celih števil s kvadrati. Jacobijeva enačba iz teorije eliptičnih funkcij:

$\Theta(\chi)^{2} = 1 + 4\sum_{n=1}^{\infty} \left\lbrace \tau_{1}(n) - \tau_{3}(n)\right\rbrace {\chi}^{n} \; ,$

kjer sta $τ 1 (n)$ in $τ 3 (n)$ število deliteljev n kongruentno 1 in 3 po modulu 4. Če primerjamo koeficient $χ n$ v tej enačbi s koeficientom $χ n$ v generativni funkciji za $r 2 (n)$ , dobimo eksplicitno enačbo za število predstavitev n kot vsote dveh kvadratov:

$r_{2}(n) = 4\left\lbrace \tau_{1}(n) - \tau_{3}(n)\right\rbrace \; .$

S podobnimi postopki je Jacobi pokazal, da je $r 2 (n) = 8σ(n)$ , če je n sod in $r 4 (n)$ = 24-krat vsota sodih deliteljev n, če je n lih. Podobne enačbe $r k (n)$ za $k = 6,8,10$ in 12 so dobili na podoben nančin, vendar so bolj zapleteni. Enačbe za $r k (n)$ so znane za vse lihe $k \le 24$ . Za sode k je enačbe težje dobiti.

[uredi] Viri

[1] Andrew Granville, Harald Cramer and the distribution of prime numbers (postscript).
[2] Ilan Vardi, An introduction to Analytic Number Theory, 1998.