Teselación

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Una teselación vista en el pavimento de una Calle

Teselación Hexagonal de un Piso

Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos los cuales son que no queden huecos y no se sobrepongan o traslapen las figuras. Las teselaciones se crean usando Transformaciones isométricas. sobre una figura inicial.

Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

Tabla de contenidos

1 Antecedentes históricos
2 Conceptos Previos
3 Teselaciones Regulares.
4 Teselaciones Semiregulares.
5 Teselaciones No Regulares
6 Construcción de Teselas
- 6.1 Método Quita y Pon
- 6.2 Método del Sobre
7 Teselaciones e Isometría
8 Véase también
9 Enlaces externos

[editar] Antecedentes históricos

Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antiguedad contienen regularidades geométricas.

Arquímedes en el siglo III adC hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.

Artistas moriscos entre los años 700 y 1500 dC decoraron maravillosamente muros de ostentosos palacios.

Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.

Entre 1869 y 1891, el matemático Camilla Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de las llamadas teselaciones.

Un personaje clave en este tema es el artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático Harold Scott MacDonald Coxeter, aprendió las teselaciones hiperbólicas, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

ángulos que concurren a un vértice

[editar] Conceptos Previos

La suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º

$\angle \alpha + \angle \beta+ \angle \gamma + \angle \delta + \angle \epsilon + \angle \lambda = 360^o$

Un polígono es regular si tiene todos sus lados iguales
Un polígono es Convexo si sus diagonales estan al interior del polígono. Un polígono Cóncavo es un Polígono que no es Convexo.

[editar] Teselaciones Regulares.

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

Como la unión en cada vértice debe sumar 360 para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.

Triángulos equilateros

Cuadrados

Hexágonos

[editar] Teselaciones Semiregulares.

Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Una teselación semi-regular tiene las siguientes propiedades:

Esta formada solo por polígonos regulares.
El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
Existen solo 8 teselaciones semi-regulares

8 4 4	3 3 3 4 4	3 3 3 4 3 4	3 3 3 3 6
3 12 12	3 4 4 6	3 6 3 6	4 6 12

Teselaciones con figuras semi-regulares

8 8 4	3 3 3 4 4	3 3 3 4 3 4	3 3 3 3 6
3 12 12	3 4 4 6	3 6 3 6	4 6 12

[editar] Teselaciones No Regulares

Son aquellas formadas por polígonos no regulares

[editar] Cuadriláteros

Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.

Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible

[editar] Triángulos

Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelógramo correspondiente.

[editar] Hexágonos

Teselación de El Cairo

[editar] Teselación de El Cairo

Esta teselación aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre. El pentágono posee aquí 4 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.