تانسور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در متن این مقاله یا بخش از هیچ منبعی نام برده نشده‌است. شما می‌توانید با افزودن منابع بر طبق شیوه‌نامهٔ ارجاع به منابع، به ویکی‌پدیا کمک کنید.

این مقاله به تمیزکاری نیاز دارد. لطفاً آن را تا جایی که ممکن است از نظر املا، انشا، چیدمان و درستی بهتر کنید. سپس این الگو را از بالای مقاله حذف کنید. محتویات این مقاله ممکن است غیرقابل اعتماد و نادرست یا جانبدارانه باشد یا قوانین حقوق پدیدآورندگان را نقض کرده باشد.

این مقاله نیازمند ویکی‌سازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوه‌نامه آن را تغییر دهید. در پایان، پس از ویکی‌سازی این الگوی پیامی را بردارید.

در ریاضی، تانسور آرایه‌ای از اعداد است یعنی یک سری اعداد که به طور خاصی مرتب شده اند یعنی در یک جدول (نامحسوس) چیده شده اند.

این جدول در حالت کلی می‌تواند به صورت... N x M x O x P x باشد که حروف بزرگ هر کدام می‌توانند نماینده ی یک عدد باشند و x نشان دهنده ی عمل ضرب بین آنهاست. مثلا یک تانسور در ساده ترین حالت می‌تواند یک عضو داشته باشد که این عضواز همان اعداد معمولی است که در طول روز از آنها استفاده می‌کنیم. در حالت کمی پیشرفته تر تانسور می‌تواند به صورت بردار باشد. یعنی وقتی شما بردار A را به صورت(x,y,z) نشان می‌دهید در حقیقت یک تانسور دارید. در حالتی باز هم پیشرفته تر تانسور می‌تواند دو بعدی باشد(به صورت ماتریسی) یعنی مثلا جدول ما ۲x۲ باشد یعنی دو سطر و دو ستون داشته باشد.

چنین تانسوری دارای ۴ عضو است. به طور کلی تانسورهای دو بعدی و بالاتر از دو بعد را با نام ماتریس هم می‌شناسند که مطمئنا با ماتریس ها و برخی خصوصیتهای آنها آشنا هستید. ماتریس ها از آن جهت مورد استفاده قرار می‌گیرند که باعث ایجاد نظم بین داده های یک مسئله و دسته بندی اطلاعات آن می‌شوند.

تعریف فوق همراه با ساده‌سازی بسیار است. یک تعریف دقیق‌تر از این قرار است:

یک تانسور رتبه (۰,۱) و $N$ -بعدی حقیقی مانند $T$ نگاشتی است خطی از $\mathbb{R}^N$ به $\mathbb{R}$ یعنی:

$T(ax + by) = aT(x) + bT(y), \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}^N \hbox{ and } a,b \in \mathbb{R}.$

اگر $\{e_n\}_{n=1}^{n=N}$ یک پایه برای $\mathbb{R}^N$ باشد، آنگاه به مجموعه $N$ عدد $T n$ که از

$T (e n) = T n$

به دست می‌آیند مؤلفه‌های $T$ در پایه $\{e_n\}_{n=1}^{n=N}$ می‌گویند. می‌توان دید که مؤلفه‌های این تانسور، تحت تغییر پایه، رفتاری شبیه مؤلفه‌‌های یک بردار پادهموردا دارند. با یک نگاه کلی‌تر می‌توانیم $\mathbb{R}^N$ را با یک فضای برداری $N$ -بعدی دلخواه چون $V$ عوض کنیم. در این صورت معمول است که مجموعهٔ همه چنین تانسورهایی را با $V *$ نشان دهیم.

به طور مشابه یک تانسور رتبه (۰,۲) به عنوان یک نکاشت دو-خطی از $V \times V$ به $\mathbb{R}$ تعریف می‌شود:

$T(ax + by, z) = aT(x, z) + bT(y, z), \qquad \forall x,y,z \in V \hbox{ and } a,b \in \mathbb{R},$ $T(z, ax + by) = aT(z, x) + bT(z, y), \qquad \forall x,y,z \in V \hbox{ and } a,b \in \mathbb{R}.$

این بار به مجموعه $N 2$ عدد $T m, n$ که با

$T (e m, e n) = T m, n$

تعریف می‌شوند مؤلفه های تانسور $T$ گفته می‌شود ( $\{e_n\}_{n=1}^{n=N}$ پایهٔ $V$ است). مجموعه تمام این تانسورها را با $V^* \otimes V^*$ نشان می‌دهیم و می‌نویسیم: $T \in V^* \otimes V^*$ .

یک تانسور (۱,۰) چون $T$ عضوی است از فضای برداری $V$ . مؤلفه‌های این تانسور با شاخص‌های بالا و بدین ترتیب تعریف می‌شوند:

$T = \sum_{n=1}^{n=N} T^n e_n$

یک تانسور (۲,۰) عضوی از فضای برداری $V \otimes V$ است که با پایه‌های $e_m \otimes e_n$ تولید می‌شود. بنابراین چنین تانسوری با

$T = \sum_{m,n=1}^{N} T^{mn} e_m \otimes e_n$

داده می‌شود و $T m n$ مؤلفه‌های آن نامیده می‌شوند.

این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات ناقص است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

برگرفته از «http://fa.wikipedia.org../../../%D8%AA/%D8%A7/%D9%86/%D8%AA%D8%A7%D9%86%D8%B3%D9%88%D8%B1.html»

رده‌های صفحه: مقالات بدون منبع | تمیزکاری عمومی | مقالات نیازمند به ویکی‌سازی | مقاله‌های ناقص ریاضی

تانسور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

Views

گشتن

جستجو

زبان‌های دیگر