Aaltofunktio
Wikipedia
Aaltofunktio ψ(x,y,z,t) on kvanttimekaniikan tapa kuvata hiukkasta. Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen suure, jonka neliön magnitudi | ψ2 | (tarkasti ottaen tulo kompleksikomplementtinsa kanssa ψψ * ) kuvaa hiukkasen esiintymistodennäköisyystiheyttä tiettynä hetkenä tietyssä pisteessä: p(x,y,z)dV = | ψ2 | dV = ψψ * dV (tässä ψ ei ole ajan funktio).
[muokkaa] Klassinen hiukkanen vs. kvanttimekaniikan aaltofunktio
Klassisesti hiukkanen on lokalisoitunut tiettyyn pisteeseen tietyllä hetkellä, ja voimme tietää sen paikan sekä nopeuden äärettömän tarkasti samanaikaisesti. Kvanttimekanistisesti hiukkanen ei kuitenkaan esiinny lokalisoituneena tiettyyn pisteeseen, vaan sen paikan ja liikemäärän määrityksessä on aina tietty inherentti epävarmuus (kts. Heisenbergin epätarkkuusperiaate). Tämä muutos ajattelussa on suoraan seurausta kokeista, joissa hiukkaset manifestoivat itseään aaltoina (Thompsonin elektronidiffraktio, esimerkiksi).
Voimme ymmärtää tämän tuloksen yksinkertaisen yksiulotteisen esimerkin avulla. Tiedämme, että hiukkanen on lokalisoitunut avaruudessa ja tarvitsemme myös sitä kuvaavan aaltofunktion ψ noudattavan yllä mainittua todennäköisyystiheysominaisuutta. Kvanttimekanillisesti ajattelemme siis lokalisoituneen aaltofunktion hiukkasena. Lähdetään liikkelle täysin lokalisoitumattomasta aaltofunktiosta, eli jonka paikkaa emme tiedä laisinkaan; kosiniaallosta ψ = Acos(kx), jossa k = 2π / λ. Kosiniaalto sellaisenaan on määritelty negatiivisesta äärettömästä positiiviseen äärettömään. Kun laitamme päällekkäin useampia kosiniaaltoja (eli rakennamme ψ:n Fourier-sarjalla), joiden aaltoluvut k eroavat hieman toisistaan, jossain kohdissa aaltofunktiot kumoavat toisensa, kun taas jossain kohdissa ne vahvistavat toisiaan. Valitsemalla k:t sopivasti, voimme luoda lokalisoituneen aaltopaketin. Tässä käytämme binomidistribuutiota kertoimille, jotta saamme suurin piirtein gaussin käyrän rajaaman paketin (kts. kuva): 
(normalisoi jakamalla 
). Mitä paremmin haluamme paketin lokalisoituneen, eli mitä paremmin haluamme tietää sen paikan, sitä suuremman jakauman tarvitsemme k0:ssa. Täten lokalisoitunut aaltofunktio hiukkaselle tarvitsee jakauman liikemäärässä, koska k0 = 2π / λ = 2πp / h. Täten mitä pienemmäksi epävarmuus paikassa vähenee, sitä suuremmaksi epävarmuus liikemäärässä kasvaa.
[muokkaa] Aaltofunktion sovellukset
Aaltofunktioille pätee Schrödingerin aaltoyhtälö, jonka avulla voimme laskea aaltofunktion muotoa esimerkiksi vetyatomin 1s-elektronille. Kvanttimekaanisesti yksielektronisen vetyatomin 1s-elektronin aaltofunktio on pallomainen, eli elektroni ei kierrä ydintä millään ellipsiradallaan, vaan sen aaltofunktio on levinnyt pallomaiseksi, pienentyen mitä kauempana ytimestä elektronia tarkastelemme.
Aaltofunktio pitää myös pystyä normalisoimaan, eli todennäköisyys hiukkasen löytymiselle jostain on oltava 1, sekä sen pitää olla yhtäjaksoinen.
Aaltofunktiolla voimme myös selittää havainnon, että yksittäiset fotonit noudattavat tuttua diffraktiokuviota Youngin kaksoisrakokokeessa. Klassisesti tämä on mahdotonta, koska fotonihiukkasen on mentävä jommasta kummasta raosta, eikä se voi diffraktoida toisen fotonin kanssa. Kuitenkin fotonit ovat "tietoisia" toisestakin raosta ja luovat diffraktiokuvion. Kvanttimekaanisesti tilanteen fotonille voidaan löytää aaltofunktioratkaisuja, joiden mukaan se "kulkee" molempien rakojen läpi samanaikaisesti diffraktoiden sitten itsensä kanssa, eikä ongelmaa ole.
