Schrödingerin yhtälö

Wikipedia

Schrödingerin yhtälön kehitti itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger vuonna 1925. Se kuvaa kvanttimekaanisten systeemeiden aikariippuvuuksia. Schrödingerin yhtälöllä on olennaisen tärkeä osa kvanttimekaniikan teoriassa, jossa se vastaa merkitykseltään Newtonin toista lakia klassisessa mekaniikassa.

Kvanttimekaniikan matemaattisessa formuloinnissa jokainen systeemi esitetään kompleksisessa Hilbertin avaruudessa siten, että jokaista systeemin hetkellistä tilaa vastaa yksikkövektori ko.avaruudessa. Tämä tilavektori esittää todennäköisyyksiä kaikille mahdollisille systeemiin liitettyjen mittausten tuloksille. Systeemin tilan muuttuessa ajan kuluessa, muuttuu tilavektori vastaavasti ajan funktiona. Tämä ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö antaa tiedon tilavektorin muutostaajuuden suuruudesta.

Diracin merkintätapaa käyttäen hetkellinen tilavektori ajanhetkellä $\ t$ on muotoa $\left| \psi (t) \right\rangle$ ja Schrödingerin yhtälö on muotoa:

$H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

$\ i$ on imaginaariyksikkö
$\hbar$ Planckin vakio jaettuna 2π
H(t) on yhdistetty Hamiltonin operaattori tila-avaruudessa.

Hamiltonin operaattori kuvaa systeemin kokonaisenergiaa. Kuten voima Newtonin toisessa laissa, Schrödingerin yhtälö ei anna sen tarkkaa muotoa, vaan se pitää muodostaa erikseen systeemin fysikaalisten ominaisuuksien perusteella.

Sisällysluettelo

1 Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö
2 Schrödingerin aaltoyhtälö

[muokkaa] Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö

Monissa tarkasteluissa oletetaan stationäärinen tila, mikä tarkoittaa, että systeemin energiajakauma ei muutu ajan $\ t$ funktiona. Energia jakautuu kuitenkin paikan $\ r$ funktiona. Voidaan määrittää yksikäsitteinen paikasta riippuva funktio $\ U(r)$ , jota sanotaan potentiaalifunktioksi.

[muokkaa] Hiukkanen yksidimensioisessa potentiaalilaatikossa

Kun hiukkanen, jonka massa on $\ m$ , liikkuu yksidimensionaalisen potentiaalin $\ U(x)$ alaisena, niin hiukkasen tilafunktio $\psi\left({x}\right)$ toteuttaa yksidimensioisen Schrödingerin yhtälön:

$-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi (x)}{dx^2} + U(x) \psi (x) = E \psi(x).$

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti vain muutamassa erikoistapauksessa. Klassillinen esimerkki on hiukkanen laatikossa (particle in a box). Potentiaalifunktio on määritelty nollaksi x-akselin tietyllä välillä ja äärettömäksi tämän välin ulkopuolella. Klassillisesti hiukkanen liikkuu kahden jäykän seinämäm välissä. Energian ominaisarvot muodostavat spektrin:

$\ E_1$ , $\ 4 E_1$ , $\ 9 E_1$ , $\ 16 E_1$ jne ...

missä $\ E_1$ on perustilaenergia, energia, jota pienempää ei ole. Nollaenergia ei ole sallittu, koska kvanttihiukkanen ei ole levossa.

[muokkaa] Hiukkanen kolmidimensioisessa potentiaalilaatikossa

Vastaava kolmidimensioinen yhtälö on muotoa:

$[-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + U(r)] \psi (r) = E \psi (r).$

Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksktisti kolmidimensioisessa laatikossa, jossa hiukkasen liike on rajattu tietylle välille kaikkien koordinaattiakselien suunnissa. Jos välit ovat keskenään yhtäsuria eli laatikko on kuutionmuotoinen, niin tällöin saadaan esimerkki degenroituneista tiloista. Energian ominaisarvojen spektri on tällöin:

$\ 3 E_1$ , $\ 6 E_1$ , $\ 9 E_1$ , $\ 11 E_1$ , $\ 12 E_1$ jne ...

Perustilaenergia on $\ 3 E_1$ ja tämä tila on degrenerotumaton, mutta kolmea seuraavaa ominaisarvoa vastaavien tilojen degeneraatioaste on kolme, mikä tarkoittaa, että yhtä ominaisarvoa kohti on olemassa kolme kokonaisenergialtaan yhtäsuurta mutta eri tavalla jakautunutta tilaa. Ominaisarvoa $\ 12 E_1$ vastaava tila on degeroitumaton ja ominaisarvoa $\ 14 E_1$ vastaavan tilan degeneraatioaste on kuusi.

[muokkaa] Ominaisarvoyhtälö

Jokaista ajasta riippumatonta Hamiltonin operaattoria $\ H$ kohti on olemassa kvanttitilojen $\left|\psi_n\right\rang$ eli energian ominaistilojen joukko sekä reaalilukujen $\ E_n$ eli energian ominaisarvojen joukko, jotka toteuttavat ominaisarvoyhtälön:

$H \left|\psi_n\left(x\right)\right\rang = E_n \left|\psi_n\left(x\right)\right\rang.$

Ominaistilan kokonaisenergia on definiitti ja sen arvo on Hamiltonin operaattorin ominaisarvo. Jokaista energian ominaisarvoa kohti voi olla olemassa (ei kuitenkaan välttämättä) useampia ns. degeneroituneita tiloja. Edellä esitettyä ominasarvoyhtälöä sanotaan ajasta riippumattomaksi Schrödingerin yhtälöksi. Hamiltonin operaattorin kaltaisilla itseadjungoituvilla operaattoreilla on ominaisuus, että niiden ominaisarvot ovat kaikissa tapauksissa reaalilukuja, mitä voidaan odottaakin, koska energia on fysikaalisesti havaittavissa oleva suure eli observaabeli.

Sijoittamalla ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö täydelliseen Schrödingerin yhtälöön, saadaan:

$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi_n \left(t\right) \right\rangle = E_n \left|\psi_n\left(t\right)\right\rang.$

Tämä yhtälö on helposti ratkaistavissa. Havaitaan, että energian ominaistiloja vastaavat tilavektorit vain kiertyvät kompleksitasossa norminsa säilyttäen

$\left| \psi \left(t\right) \right\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et / \hbar} \left|\psi\left(0\right)\right\rang.$

Energian ominaistilat ovat käyttökelpoisia, koska niiden aikariippuvuus on yksinkertainen ja samoin ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on käyttökelpoinen. Tarkasteluissa valitaan hetkellinen ominaistilojen joukko, jonka tilavektorit $\left\{\left|n\right\rang\right\}$ muodostavat tila-avaruuden kannan. Tällöin mikä tahansa tilavektori $\left|\psi\left(t\right)\right\rang$ voidaan esittää energian ominaistilojen lineeaariyhdistelynä:

Viimeisenä esitetty muoto edellyttää, että $\left|\psi\left(t\right)\right\rang$ on yksikkovektori. Sijoittamalla ensimmäinen muoto Schrödingerin yhtälöön muistaen, että kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, saadaan:

$\mathrm{i}\hbar \frac{\partial c_n}{\partial t} = E_n c_n\left(t\right).$

Tästä seuraa, että jos funktion $\left|\psi\left(t\right)\right\rang$ kehitelmä valitussa kannassa tunnetaan hetkellä $\ t = 0$ , niin funktion arvo millä tahansa myöhemmällä ajanhetkellä lasketaan yksikertaisesti lausekkeesta

$\left|\psi\left(t\right)\right\rang = \sum_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_nt/\hbar} c_n\left(0\right) \left|n\right\rang.$

[muokkaa] Schrödingerin aaltoyhtälö

Kvanttisysteemin tila-avaruus voidaan virittää paikkavektorikannassa. Tällöin Schrödingerin yhtälö muotoillaan kätevimmin aaltofunktion osittaisdifferentiaaliyhtälöksi. Aaltofunktio on paikan ja ajan kompleksiarvoinen funktio. Yhtälön muotoa sanotaan Schrödingerin aaltoyhtälöksi.

Paikkavektorikannan alkioita sanotaan paikan ominaistiloiksi.