Fourier'n sarja
Wikipedia
Fourier'n sarja on tapa esittää jaksollinen funktio trigonometristen sini- ja kosinifunktioiden avulla äärettömänä summana eli sarjakehitelmänä. Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Joseph Fourier kehitti sarjat tutkiessaan lämmönjohtumisen teoriaa 1800-luvun alkupuolella.
Fourier'n sarja on määritelty Eulerin lausetta hyväksikäyttäen kompleksilukujen eksponenttifunktion avulla:
Missä Fn on Fourier'n kerroin. Kerroin saadaan vastaavasta funktiosta f(x) integroimalla:
Joskus Fourier'n sarja on annettu suoraan trigonometrisinä funktioina. Merkintä on pidempi, mutta se saattaa olla joskus havainnollisempi.
- .
Tässä esiintyvät kertoimet an ja bn saadaan integraaleista:
- ja
Kertoimia an kutsutaan sarjan parillisiksi ja bn parittomiksi kertoimiksi. Nimitys tulee siitä, että parillisilla funktioilla (joilla ) ainoastaan kertoimet , kun taas parittomilla funktioilla (joilla vastaavasti ) vain kertoimet .
Fourier'n sarjoja esiintyy fysiikassa erittäin monenlaisissa yhteyksissä. Niitä käytetään apuna esimerkiksi röntgenkristallografiassa, optiikassa, akustiikassa, kvanttikenttäteoriassa ja signaalinkäsittelyssä. Myös eräiden osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat Fourier'n sarjoja.