Abc-konjektuuri
Wikipedia
- Teknisten rajoitusten vuoksi artikkelin yllä näkyvä otsikko on virheellisessä muodossa. Oikea kirjoitustapa on: abc-konjektuuri.
Abc-konjektuuri on lukuteorian avoin ongelma, jonka määrittelivät Joseph Oesterlé ja David Masser vuonna 1985.
[muokkaa] Määritelmä
Olkoon
- a + b = c
kolme keskenään jaotonta positiivista kokonaislukua ja rad(abc) (abc:n radikaali) neliövapaa tulo luvun erillisistä alkutekijöistä, toisin sanoen luku, joka saadaan kertomalla kaikkien kolmen luvun alkutekijöitä, mutta kutakin vain kertaalleen.
Koska rad(abc) on tyypillisesti suurempi kuin c, saadaan suhde rad(abc)/c mielivaltaisen lähelle nollaa valitsemalla a ja b sopivasti. Esimerkiksi jos a = 5 ja b = 27 = 33, on c = 32 = 25 ja tällöin rad(abc)=30 on vähemmän kuin c.
abc-konjektuurin mukaan kaikilla ε>0 suhde
- rad(abc)1+ε/c
on alhaalta rajoitettu jollakin vakiolla k > 0, kaikilla a, b ja c=a+b.
Formaalimmin kaikilla ε>0 on olemassa äärellinen Kε siten, että kaikilla keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla a+b=c
[muokkaa] Seurauksia
Otaksumaa ei ole kyetty todistamaan, mutta sillä on useita seurauksia, kuten Rothin lause, Mordellin otaksuma ja Fermat'n suuri lause. Vaikka kukin näistä on kyetty todistamaan, on abc-otaksuma avoin ja mielenkiintoinen, sillä se yhdistää lukuteorian syvällisiä tuloksia toisiinsa.
Muita seurauksia:
- Erdősin–Woodsin konjektuuri (rajoitetulle määrälle tapauksista)
- Äärettömän monen ei-Wieferichin alkuluvun olemassaolo
- Hallin konjektuurin heikko muoto
[muokkaa] Tarkemmat määritelmät
Alan Baker esitti vuonna 1996 tarkemman otaksuman, jonka mukaan epäyhtälössä voidaan korvata rad(abc) termillä
- ε−ωrad(abc),
jossa ω on lukumäärä erillisille alkuluvuille, jotka jakavat jonkin luvun a, b tai c. Andrew Granvillen kehittämän otaksuman mukaan lausekkeen oikea puoli voidaan korvata termillä
- O(rad(abc) Θ(rad(abc)),
jossa Θ(n) on lukumäärä (korkeintaan n) niille kokonaisluvuille, jotka ovat jaollisia vain niillä alkuluvuilla, jotka jakavat n:n.
